sous-groupes d'un p-groupe

Bonjour à tous,

voilà j'ai en face de moi une proposition que je pense être vraie, mais je ne suis pas sûr et je vous demanderais votre avis sur la démonstration que je donne.

On se donne $G$ un p-groupe (p premier), donc d'ordre $p^n$ ($n>0$) et j'affirme (modestement :) ) qu'il existe une suite $(G_i)$ de $n$ sous-groupes de $G$ tels que:

Pour tout i=1...(n-1) on a $G_i \subset G_{i+1}$

et tel que $G_i$ est d'ordre $p^i$ pour tout i=1...n. (donc en particulier $G_n=G$).


Je raisonne par récurrence sur n:

si n=1 alors un p-groupe d'ordre p et donc on pose $G_1=G$

si n=2 alors G est d'ordre $p^2$ donc d'après le théorème de Cauchy il existe un sous-groupe d'ordre $p$, que l'on note $G_1$ et on pose $G_2=G$ et on a le résultat.


Soit n >0 fixé dans $\N$. Si on suppose la propriété vraie au rang n, considérons alors un p-groupe G d'ordre $p^{n+1}$. D'après les théorèmes de Sylow, il existe un sous-groupe de G d'ordre $p^n$. Notons le $H$. Si on lui applique l'hypothèse de récurrence, on obtient une suite de sous-groupes $G_i$ pour i=1...n vérifiant ce que j'ai écrit plus haut. Donc en posant $G_{n+1}=G$ alors on a le résultat voulu et donc la propriété est démontrée au rang n+1.



Voilà, je trouve cette démonstration trop simpliste pour un résultat qui est a priori non trivial, donc je voulais avoir une confirmation, voire un contre-exemple à la proposition que j'ai citée.

Merci.

P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.

Réponses

  • Pour un groupe de cardinal $p^{n+1}$ les théorèmes de Sylow ne servent à rien, car pour obtenir l'existence d'un sous-groupe de cardinal $p^n$ dans un groupe de cardinal $p^nm$ il faut que $p$ ne divise pas $m$.
  • On prouve cela par recurrence.

    La clef est qu'un p-groupe n'est jamais simple. On peut abaisser l'indice de récurrence en quotientant G par son centre.

    Sauf erreurs.

    Airy.
  • Donc ma démonstration est fausse mais la proposition que j'ai énoncée est vraie ?
  • .. a dit:

    "Pour un groupe de cardinal p^n+1 les théorèmes de Sylow ne servent à rien, car pour obtenir l'existence d'un sous-groupe de cardinal dans un groupe de cardinal p^nm il faut que p ne divise pas m."

    à ce que je sache $p$ ne divise pas 1.

    Et a priori les théorèmes de Sylow s'appliquent aux p-groupes. Peux tu expliciter ta remarque ?

    P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.
  • Bonsoir,

    Pour toto :
    Pour prouver ton résultat, tu utilises les théorèmes de Sylow et à priori, ce ne sont pas des théorèmes "trop simplistes", non ?

    pour Airy :
    Et si G est commutatif ?

    En réalité, j'avais déjà posé cette question sur le forum, il y a un bon moment et Alain Debreil m'avait répondu.
    En faisant une recherche avec p-groupe, tu devrais trouver le lien.

    Jérémy

    [Après recherche. AD]
    <http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=108605&t=108572&gt;
  • En lisant la preuve, ça cloche ici :

    "D'après les théorèmes de Sylow, il existe un sous-groupe de G d'ordre p^n"

    Jérémy
  • Bonjour Toto

    Ta proposition est exacte, puisqu'un $p$-groupe d'ordre $p^n$ est un groupe nilpotent donc il existe une telle suite
    $G=G_n\supset \ldots \supset G_2 \supset G_1=\{1\}$ telle que $G_i\lhd G_{i+1} \textrm{ et } G_{i+1}/G_i \simeq \Z/p\Z$

    Ta démonstration ne colle pas parcequ'un $p$-Sylow d'un $p$-groupe $G$ est $G$ lui-même.
    Par contre, ainsi que l'indique Airy, comme le centre d'un $p$-groupe n'est pas trivial, tu peux affirmer (Cauchy) l'existence d'un élément $x$ d'ordre $p$ et dans le centre de $G$, et donc $H=\left< x \right>$ est un sous-groupe de $G$ inclus dans le centre $Z(G)$ donc distingué dans $G$, alors $G/H$ est un $p$-groupe d'ordre $p^{n-1}$ sur lequel tu peux appliquer l'hypothèse de récurrence.
    Ensuite il ne faut pas oublier que la surjection canonique $\pi : G \rightarrow G/H$ induit une bijection entre les sous-groupes de $G$ contenant $H$ et ceux de $G/H$, qui plus est cette bijection conserve le caractère distingué des sous-groupes.

    Volà, les idées principales pour ce genre de démonstrations. Si tu n'y arrives pas repose une question.

    Alain
  • Obtient -on cette suite en prenant la suite des groupes dérivés ( vu qu'un p-groupe est résoluble), où la suite des groupes dérivés peut elle faire des sauts de dimension?

    en espérant que vous avez compris ce que je veux dire
  • MErci de vos explications, il y a un point que je n'arrive encore pas à comprendre. Si G est un p -groupe alors un p-Sylow de G est G lui même je suis d'accord sur ce point.



    D'autre part, un des théorèmes de Sylow affirme que si G est un groupe d'ordre p^n.m avec p premier avec m (et n>0) alors pour tout i=1...n il existe un sous-groupe de G d'ordre p^i. C'est ce que j'ai utilisé dans ma démonstration par récurrence, le groupe G d'ordre p^(n+1) contient donc un sous groupe d'ordre p^n, et on peut alors utiliser l'hypothèse de récurrence. Je ne vois donc pas où est ce que ça cloche si quelqu'un pouvait m'expliquer.

    D'autant plus que le résultat que j'ai énoncé est plus faible que le fait que le groupe soit nilpotent car je ne demande pas que G_i soit distingué dans G_(i+1).
  • Salut toto ,

    "un des théorèmes de Sylow affirme que si G est un groupe d'ordre p^n.m avec p premier avec m (et n>0) alors pour tout i=1...n il existe un sous-groupe de G d'ordre $p^i$. "

    Je ne connais pas les théorèmes de Sylow sous cette forme.

    Le théorème 1 de Sylow dit qu'il existe (au moins) un sous-groupe de Sylow dans G, c'est à dire un sous-groupe de G dordre $p^n$.

    Ensuite, d'après ce qu'a dit Alain, on peut déduire comme corollaire tes propos.

    Jérémy
  • Le théorème de Sylow dont je parle est fait dans le Fresnel par exemple. Ou bien ici :
    <a href=" http://perso.wanadoo.fr/cyd60000/Sylow.pdf "> http://perso.wanadoo.fr/cyd60000/Sylow.pdf </a> à la page 3/10 (théorème 2.0.3)<BR>
  • Re,

    C'est pas le cas dans Perrin ou Lang.

    Cela doit être une question de goût...
  • Ce théorème est vrai pas de problème mais je ne crois pas qu'il soit très classique, je ne l' ai jamais vu énoncé comme cela. Ta démo est vraie mais si elle est simpliste comme tu dit ce n'est qu'apparant car tu utilises un résultat assez élaboré.
  • Bonjour Toto

    Tu as parfaitement raison. Le 1er théorème de Sylow (J.Calais) stipule bien que si $|G|=mp^n$ alors pour tout $k, \ 1\leq k \leq n$ il existe un sous-groupe de $G$ d'ordre $p^k$. Mais ces sous-groupes ne sont pas des $p$-Sylow de $G$ (sauf pour $k=n$). Toutefois, comme l'indique Djer, ce n'est pas énoncé ainsi dans Lang, ni même dans Bourbaki.

    D'autre part, dire "D'après les théorèmes de Sylow" n'est pas assez précis pour faire référence à cette propriété, car immédiatement, on pense "existence d'un $p$-Sylow", qui ici n'est d'aucune utilité !
    D'où ma méprise sur ce que j'ai cru être une erreur !
    Pour utiliser ce 1er théorème de Sylow, sans contestation, il faut, à mon avis, le rappeler (formulation du genre de celle donnée ci-dessus).

    Le principal étant de se faire comprendre du lecteur, il ne faut pas hésiter à recadrer le discours pour que le lecteur distingue bien le fil conducteur de ta démonstration.

    Alain
  • Effectivement, je pensais que ce théorème était plus connu, mais c'est vrai qu'apparement il est peu souvent énoncé comme cela.

    Merci Alain pour ces précisions.
  • la technique c'est de quotienter par le centre...
  • froby je suis d'accord avec toi si tu veux montrer qu'il est nilpotent, mais pour le résultat moins fort que je veux ce n'est apparement pas nécéssaire.
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