[Th] Somme de Cesaro

racinedecheveux

Bonjour!
Bon bha je vais essayer de commencer le wiki-math;
J'ai choisi comme premier sujet, les sommes de Cesaro, mais ce serait pas mal si on se mettait d'accord pour savoir par quoi on commence, ou d'etablir tout de suite une liste.

Etant donne une suite $x_n$ reelle ou complexe, la suite $s_n$
definie par $s_n = 1/n \sum_{k=0}^{n-1}x_k$ est appelee la suite des
sommes de Cesaro associee à $x_n$
Si la suite $x_n$ converge vers $l$, il en est de même pour la suite
$s_n$.

Demonstration:
Soit $y_n$ et $t_n$ les suites definies par $y_n=x_n -l$ et
$y_n=s_n - l$
Comme $t_n= (1/n\sum_{k=0}^{n-1} x_k)-l= 1/n \sum_{k=0}^{n-1}
(x_n -l)$, $t_n$ est la suite des sommes de Cesaro associee à $y_n$.
On est ainsi ramene à prouver que si une suite $y_n$ converge vers
0, alors la suite des sommes de Cesaro converge vers 0.
L'hypothese donne:$\forall \alpha >0, \exists p \in \N, n\geq p \Rightarrow |y_n| \leq \alpha$.
Comme pour tout $n\geq p$, $t_n= 1/n \sum_{k=0}^{p-1}y_k +
1/n\sum_{k=0}^{n-1}y_k$, il vient:
$|t_n| \leq 1/n|\sum_{k=0}^{p-1}y_k|+ 1/n\sum_{k=p}^{n-1}|y_k|$
En posant $A= |\sum_{k=0}^{p-1}y_k|$, il vient $|t_n| \leq
A/n+\frac{n-p}{n}\alpha$ et donc: $|t_n| \leq \frac{A}{n}+\alpha$.
Il existe $q \in \N$ tel que, pour tout $n \geq q, 0\leq \frac{A}{n} \leq \alpha$.
En conclusion, $\forall \alpha>0, \forall n\geq sup{(p+1,q)},$
$|t_n| \leq 2\alpha$, et $t_n$ converge vers 0.

amicalement
PS: merci à tous ceux qui veulent participer de faire un post dans ce fil, juste histoire de savoir qui contribue;
personnellement je ne peux m'occuper que des theoremes faciles.

Guimauve0

Ce serait bien de traiter des à-côtés des théorèmes, par exemple il y a peut-être des choses à dire sur la vitesse de convergence (si une suite converge, la suite des sommes de Césarò converge-t-elle plus ou moins rapidement ?), y'a-t-il un théorème similaire pour les suites de fonctions, ...
Bon, je dis ça comme ça parce que moi je n'y connais absolument rien. Et vue la masse de cours que j'ai à rattraper je vais avoir du mal à participer avant les vacances d'été.

racinedecheveux

Bonjour!
Comme je l'ai dis, je ne peux pas faire enorme sur cette liste, je n'ai même pas le bac...
C'est pourquoi j'invite tout le monde qui veut contribuer à se signaler en ecrivant un post sur ce fil.
Il faudrait qu'on s'organise un peu quand même.

amicalement

Eric

Cas particulier du théorème de Toeplitz, donc pourquoi ne pas démontrer celui-ci directement (surtout que la technique de démonstration est la même) ? Et dans la foulée, on y ajoute la réciproque.

lts

voici une reciproque possible mais c'est plus difficle a demontrer

la convergence vers 0 au sens de cesaro implique la convergence vers 0 sur le complementaire d un ensemble de densité nulle

racinedecheveux

Bonjour!
euh en fait Eric c'est tres simple, je ne connaissais même pas l'existence du theoreme de Toeplitz, d'apres un precedent post et quelques autres personnes, on va essayer de faire une liste de theoreme avec leurs demonstrations; ceci dit tu peux egalement ecrire ce fameux theoreme de Toeplitz avec sa demonstration et dans quelques temps quelqu'un se chargera de regrouper les theoremes par categorie. Voici l'interet d'un wiki-math.

amicalement

Eric

Je pense avoir un peu de temps pour faire un topo assez complet sur le théorème de Toeplitz et quelques applications (convergence en moyenne de Cesaro et théorème de Stolz).

Mais si on ne veut parler que Cesaro, alors il ne faut pas regarder la chose comme vous le faites. La convergence de la suite qui implique la convergence de la moyenne n'a en fait que peu d'intérêt. C'est ce qui se passe dans l'autre sens qui est intéressant, à savoir que le comportement des moyennes de Cesaro permet une classification des suites divergentes. Tout ceci est expliqué dans le bouquin de Hardy, Divergent series, qui n'est pas ce qu'il y a de plus simple à lire.