extrema

Bonjour!
J'ai un probleme avec une fonction de $\R^2$ dans $\R$
Je ne vais pas vous redemander de m'expliquer les extrema..
voici ma fonction:
$f(x,y)=\frac{21x+30y}{x+y}$
en fait je n'arrive pas à trouver les points critiques
j'ai essaye de resoudre: $grad(f(x,y))=0$
et donc: $\frac{\partialf}{\partialx}=\frac{-9y}{(x+y)^2}=0$
donne $y=0$ et $x+y \neq 0$
et: $\frac{\partialf}{\partialy}=\frac{9x}{(x+y)^2}=0$
donne $x=0$ et $x+y \neq 0$
que dois-je en conclure sur les points critiques?

amicalement :)
PS: pouvez vous me rappellez les resultats selon le signe du determinant de la matrice hessienne? si det

Réponses

  • Regardez le comportement sur les droites y=k*x.
  • Bonjour!
    En fait j'ai deja la reponse, ce que je voudrais savoir c'est pourquoi je n'arrive même pas à avoir les points critiques... d'où mon message
    merci quand même

    amicalement :)
  • Si vous avez la réponse, vous devriez nous en faire part.
  • Fichtre, une fonction sans point critique ni extremum.

    Ce sont des choses qui arrivent.

  • $\frac{\partial f}{\partial x}$

    $\frac{\partial f}{\partial y}$
  • Bonjour!
    On ne peut pas trouver les points critiques alors ?
    Et personne ne peut me donner la règle avec le signe du déterminant, svp.
    Désolé RAJ pour cette incompréhension, mais je pensais que ma question était claire, en fait c'est parce que je ne pense pas qu'un problème a pour but de trouver la réponse, mais a pour but de faire réfléchir, c'est pourquoi j'estime que la réponse n'est qu'accessoire... (ça dépend des cas quand même) ; ici je me demandais pourquoi je n'arrivais pas à trouver les points critiques, le doute persiste dans mon esprit.

    Amicalement :)
  • Que tu ne trouves pas quelque chose qui n'existe pas n'est pas mauvais signe : encore une fois il n'y a pas de point critique (ton système n'a pas de solution) ici, ni d'extremum.

    Pour la règle du déterminant (pour 2 variables) : s'il est négatif en un point critique c'est la forme quadratique associée a un signe constant, donc qu'on a un extremum local.
  • Bonjour,
    Pour étudier l'existence d'un extremum local en un point critique $A$, il faut regarder si la hessienne en $A$ est définie positive ou définie négative.
    Une méthode consiste à regarder le signe des valeurs propres de la hessienne (qui sont bien réelle puisque la hessienne est une matrice symètrique réelle).
    On a alors le résultat suivant:
    Si les valeurs propres sont toutes strictement positives, la fonction admet en $A$ un minimum local.
    Si les valeurs propres sont strictement negatives, la fonction admet en $A$ un maximum local.
    Si les valeurs propres sont toutes positives, mais avec au moins une valeur propre nulle, on ne sait pas et il faut regarder > ce qui se passe. Même conclusion si elle sont négatives avec une nulle.
    Enfin si certaines valeurs propres sont positives et d'autres négatives, il n'y pas d'extrmum.
    Pour revenir au déterminant: le déterminant est égal au produit des valeurs propres et donc, pour une matrice 2X2:
    Si le déterminant est stictement positif, les valeurs propres sont de même signe donc il existe un extremum (minimum ou maximum). On peut alors pousser l'étude en regardant la trace de la matrice qui donne la somme des valeurs propres et donc leur signe.
    Si le déterminant est négatif, les deux valeurs propres sont de signe contraire et donc pas d'extremum.
    Si le déterminant est nul, on ne peut pas conclure.

    Cordialement
  • f est-elle différentiable en (0,0)?
    Avant de parler des extremas ou point critique il faut d'abord voir la différentiabilité . Puis, le systeme df(a)=0 donne les points candidats à être des extremas.
  • "f est-elle différentiable en (0,0)?"
    Regardez f(0,y) (lorsque y tend vers 0) et f(x,0) (lorsque x tend vers 0).
  • Bonjour!
    Merci RAJ, Phicle et Attioui Abdelbaki

    amicalement :)
  • f n'est prolongeable en aucun point (x,-x) donc pas en (0,0) notamment.

    Se poser la question de la différentiabilité en un tel point est absurde.

    f n'a pas de point critique ni d'extremum.
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