[AgregInt] leçon 111

mepy · April 2006

Bonjour à tous
Faisant parti des chanceux qui vont à l'oral, je suis en train de préparer la leçon 111 sur endomorphismes et polynômes d'endomorphisme.
Je suis sceptique sur le contenu : je pensais faire une première partie sur les endomorphismes et après sur les polynômes d'endomorphismes mais les sujets sont vastes.
Toute remarque concernant cette leçon sera la bienvenue !
Merci beaucoup et bonne chance à tous ceux qui sont dans le même cas que moi !

Greg8 · April 2006

J'ai traité cette leçon, c'est un marathon de 15min , et le résultat n'est pas très beau, ça ne ressemble vraiment pas à une leçon.
J'avais comme toi scindé en deux l'exposé, endo puis polynômes d'endomorphisme.
Et en développement, le théorème des noyaux, très bien adapté aux 15min de développement, la démonstration est assez jolie (y a une récurrence et du Bezout, gare aux notations cependant, on peut s'emmêler les pinceaux)

La difficulté c'est la deuxième partie : Dans les livres, ça s'étale de différentes manières en quelques dizaines de pages.
Il faut faire des choix concernant les énoncés à mettre et les organiser de façon cohérente, ce qui n'est pas évident.

mepy · April 2006

merci pour ces infos mais pour moi, c'st la première partie qui me pose pb.
sur les endo je ne sais pas trop jusqu'où aller. pour l'instant j'y ai mis: def d'un endo, exemples, représentation matricielle, inversibilité, je pensais aussi peut-etre parler de valeur et vecteur propre et poly carac par rapport à la suite mais tout ceci est bien confus!!!
je suis partie aussi sur le théorème des noyaux pour le dev

Greg8 · April 2006

Jusqu'ou aller dans la première partie ?: mon avis: le moins loin possible, pour éviter de couper la deuxième, mais quand même faut le minimum syndical.

J'ai fait:

I)Endo

1)def
2)exemples
(important à mon avis pour donner de la texture à ce cours, mettre projecteurs, sympetries, dilatation etc)
3)invariants (rang, determinant)
4) structure (algébre)
5)GL(E)
def, propriétés, contenu, son centre est le groupe des homothéties

II) Poly d'endos
1) Algébre K[ u]
def de P(u)
2)prop:PHIu, de K[X] dans L(E):P->P(u) est un morphisme d'algébres
ImPHIu est une sous algébre commutative(ultra important la commutativité)
KerPHIu est un ideal de K[X](euclidien) donc KerPHIu est principal, engendré par un polynome appelé le polynome minimal du
3)Prop: les racines de Polminu sont les valeurs propres de u
4)Exemple X²-X est le polmin de tout projecteur

III Le lemme des noyaux
1) Lemme
2) théorème de Cayley hamilton
Polcaru(u)=0
3) CNS de trigonalisation (Polmin scindé)
4)CNS de diagonalisation (polmin scindé à racines simples)

En 18min et en speedant je suis arrivé à III) 3). N'hésite pas à critiquer, merci !

Greg8 · April 2006

Tiens, y a des trucs soulignés dans mon messages ???

[Tu écris K[ u], or [ u] est une bannière html pour "sousligné". J'ai inséré un ' ' ce qui supprime l'interprétation en bannière. AD]

lolo · April 2006

le II 4) étant faux bien sûr....à moins qu'on refuse le projecteur identité et 0 ce qui me semble hasardeux !

lolo (que faut faire gaffe aux cas dégénérés)

Greg8 · April 2006

(les cas dégénérés étaient sur mon papier, mais j'ai bien sûr coupé à la hache... et sans réfléchir à tout je l'avoue)
merci ;-)

Eric · April 2006

On peut ajouter dans les invariants la trace, ce qui ne fera certainement pas tache si on parle de polynome caractéristique ensuite. Par contre il faut être capable de définir la trace sans faire référence à une matrice ou même à une base (par exemple en faisant appel à la convolution $\varepsilon\colon V^*\otimes V\longrightarrow K$ tq $\varepsilon(x^*\otimes y)=x*(y)$).

Par ailleurs, on peut envisager d'aller un peu plus loin que le théorème de Cayley-Hamiltonn et proposer le théorème de Greenberg :
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=40144&t=39958#reply_40144}

Johann5 · April 2006

"le II 4) étant faux bien sûr....à moins qu'on refuse le projecteur identité et 0 ce qui me semble hasardeux !

lolo (que faut faire gaffe aux cas dégénérés)"

????????????????????????

Pas faux du tout.

O est annulé par X, Id est annulé par X-1.

Greg8 · April 2006

Oui donc X²-X n'est pas leur Polmin, contrairement à ce que j'annoncais dans le cas général d'un projecteur non trivial.

Greg8 · April 2006

Et donc eric avait raison de signaler que mon II4 n'est vrai que si u n'est pas O ou Id

Sisbai · April 2006

Eric :

Pourquoi ne pas montrer que la trace de la matrice représentant un endomorphisme u dans une base, ne dépend pas de la base choisie.

D'où tr u = tr M où M=Mat(u) dans une base quelconque

Où est le pb ?

Rmq importante : L'intitulé exact de la leçon est :
"endomorphismes d'un esp. vect. de dimension fini, polynômes d'endomorphisme"

a+

Greg8 · April 2006

Sisbai:
La question de savoir la place à accorder au matriciel est une question importante pour cette leçon.
Je pense qu'il faut, pour des problèmes de temps et d'unité du sujet, faire le maximum sans le matriciel (mais citer quand même l'isomorphisme (à base choisie) entre u et Mat(u)/B.

Après pour la trace, ta solution me parait la plus courte (la convolution j'imagine que ça prend plus de place/temps)

Eric · April 2006

La convolution, ça permet de donner une définition de la trace ne faisant pas appel à une base, donc la trace est par définiton un invariant de l'endomorphisme. Ensuite, ça peut faire un (tout petit) développement de montrer que la définition que tu donnes est bien équivalente à la définiton courante (c'est à dire utilisant une matrice et donc des bases)

On a un isomorphisme canonique entre $\alpha\colon V^*\otimes W\longrightarrow\mathrm{Hom}(V,W)$.

Dans le cas $V=W$, on pose $\mathrm{Tr}u=\varepsilon\alpha^{-1}(u)$.

Reste à démontrer que cette définition est bien équivalente à la définiton classique, ce qui se fait, une fois une base choisie, en considérant les matrices $E_{ij}$ formant la base canonique de l'espace des matrices $M_n(K)$

Sisbai · April 2006

Bonjour

Merci Greg et Eric pour vos réponses.

Je me pose une question fondamentale :

Une application importante des polynômes d'endomorphismes est la diagonalisation et trigonalisation.

Mais pour cela il faut parler de valeur propre, vecteur propre, espace propre, polynôme caractéristique.... Impossible niveau timing.
On ne peut pas mettre en pré-requis des notions définies sur L(E) alors qu'on va justement définir L(E) dans la partie I !

Une solution peut-être :
La première partie ne serait qu'une sorte de rappels et de compléments.

qu'en pensez vous ?

Deuxième solution :
Ne pas se focaliser sur la diagonalisation !

a+

Greg8 · April 2006

La solution que j'ai adoptée, c'est de simplement donner deux cns pour la diag et trig, cns basé sur le polmin (et non sur polcar ou esp propres), puisque c'est lui qui est au coeur de la leçon

je pense que partir du polcar et des vp reléve plutot de la lecon sur la réduction des endomorphismes, et qu'en plus c'est imbouclable à moins d'enlever des trucs importants ailleurs.

Mon prof de prepa agreg a convenu qu'il ne voyait pas comment faire autrement pour le choix global du contenu, par rapport au cahier des charges du titre.

Maintenant.... à toi de te faire ton idée. (ps: reviens donner ton feedback si tu tombes là dessus à l'oral, on sera fixé, je pourrais pas tester de mon côté, j'ai raté ma première tentative d'admissibilité ;-))

Good luck

Sisbai · April 2006

Merci Greg pour ses infos.

C'est clair que le 12 avril au soir je serais sur le forum pour raconter tout ça (Si je tombe sur des probas, il n 'y aura pas grand chose à dire !).

a+

Nouveau_ici · April 2006

Comment on peut exposer tout sur les réduction d'endomorphisme en 20 min sachant que mon cours de fac sur ce chapitre tient sur 50 feuille double ???

Greg8 · April 2006

C'est la beauté de cette leçon....

Plus sérieusement, la deuxième partie du titre indique je pense la voie à suivre (polynome minimal) et celles à laisser tomber (théorie integrale de la réduction)

PS: c'est pas 20minutes, c'est 15 !

Probaloser · April 2006

Nouveau_ici, en supposant que c'est le même principe que pour l'agreg externe et en vrac :
- on ne donne qu'un plan.
- on ne met par ailleurs que ce qui est important (ce qui nécessite bien sûr de tout maitriser pour savoir ce qui est important).
- on peut adopter une vision plus synthétique que lors d'un vrai cours (pour lequel on préfère en général adopter une progression pédagogique, ce qui rallonge évidement le cours).
- on est pas obligé de tout dire (grosso-modo il faut les bases, ce qui équivaut pour ce genre de leçon à un niveau prépa, et ensuite on peut agrémenter avec ce que l'on veut).

Il y a par ailleurs des leçons bien plus vastes (compacité / espace de fonction / action de groupes / ...).

Eric · April 2006

L'agreg a tellement chagé que ça que l'on ne donne plus qu'un plan au lieu d'énoncer les théorèmes ?

Probaloser · April 2006

Un plan détaillé !

Nick5 · May 2006

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