j'ai honte

Bonjour!
Voilà je suis en train de calculer des primitives n-iemes;
il me manque un terme pour finir l'ecriture de la primitive n-ieme de dx/x
voici la suite d'elements que j'ai (j'ecris pas tout seulement la partie où je bloque)
$u_1=0$
$u_2=1$
$u_3=3/2$
$u_4=11/6$
donc on peut ecrire la reccurence: $u_{n+1}= u_n + 1/n$
maintenant je cherche $u_n$ en fonction de n
et je bloque! je m'embrouille avec le fait que je commence pour $u_2$
et non pas $u_0$; bref je tourne, et ca m'enerve....
est-ce que quelqu'un pourrait me redonner la formule d'une suite arithmetique commencant au rang $u_m$, merci d'avance

amicalement :)
PS: j'ai honte! mais ca m'enerve!

Réponses

  • Où vois-tu une suite arithmétique ?
  • u(n) = somme de k = 1 à (n-1) de 1/k mais ne s'exprime pas simplement de façon exact en fonction de n (mais évidemment, avec des O(..) et des log(n) on peut se débrouiller)
  • Ce sont les nombres harmoniques en somme ?
    Je me demande s'ils n'ont pas pour expression $$H_n=\frac{\Gamma'(n+1)}{\Gamma(n+1)}+\gamma$$
    Sans certitude.

    Sylvain
  • Bonjour!
    Oullalal j'suis completement à l'ouest aujourd'hui!
    non c'est même pas une suite arithmetique
    :s:s:s
    par contre j'aimerais bien connaitre $u_n$ en fonction de n
    et mes conjectures sont fausses...
    est-ce que quelqu'un peut m'indiquer comment trouver $u_n$

    amicalement :)
    PS:vraiment desole! pourtant j'avais pris un cafe ....
  • Aviva t'a dit qu'on ne peut pas exprimer la somme simplement.
    Par contre tu peux t'amuser à essayer de prouver que c'est de l'ordre de $ln(n)$. (essaye de comparer cette somme avec l'intégrale de $1/x$).
  • Allez je tente de démontrer mon expression de $H_n$:

    Posons $$f(x)=\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}-\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$$

    On a $$\int f(x)dx=\int(\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}-\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)})dx$$

    $$=ln (\Gamma(x+1))-ln (\Gamma(x))+K$$

    $$=ln(x\Gamma(x))-ln(\Gamma(x))+K$$

    $$=ln(x)+K$$

    Donc $$f(x)=\frac{1}{x}$$

    Pour $n$ entier naturel non nul on obtient $$\frac{\Gamma'(n+1)}{\Gamma(n+1)}-\frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}=\frac{1}{n}=H_n-H_{n-1}$$

    Donc $H_n=\frac{\Gamma'(n+1)}{\Gamma(n+1)}+Cste$

    Pour $n=0$ on a $H_0=0$ or $\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=-\gamma$ donc $Cste=\gamma$

    CQFD

    Et pour répondre à racinedecheveux:

    $u_n=H_{n-1}=\frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}+\gamma$

    Sylvain
  • Bonjour!
    Bon bah effectivement, j'etais pas encore capable de faire ca, par contre pour la suite arithmetique, j'etais pas reveille...
    Merci; donc maintenant on peut ecrire la primitive n-ieme de :
    $\int_{}^{n} \frac{dx}{x}$
    avec; $u_n=H_{n-1}=\frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}+\gamma$
    ce qui donne:
    $\int_{}^{n} \frac{dx}{x} = \frac{1}{(n-1)!}[x^{n-1}(lnx-\frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)}+\gamma)]$

    encore une petite question:
    Sylvain comment as-tu eu l'idee de poser
    $H_n=\frac{\Gamma'(n+1)}{\Gamma(n+1)}+\gamma$??
    à moins que tu connaissais deja le resultat, ce qui serait moins drole.
    merci d'avance.

    amicalement :)
  • Rassure-toi, je n'ai pas &quoteu l'idée de poser" ça...
    En fait c'est un vague souvenir de deuxième année de deug, époque où je fis un peu d'algorithmique. Le prof nous avait demandé de calculer avec Maple les premiers $H_n$, puis lorsque $n$ devenait assez grand, le logiciel nous retournait $\Psi(n+1)+\gamma$. Et comme je suis d'un naturel curieux, j'avais regardé dans l'aide de Maple ce qu'était cette mystérieuse fonction $\Psi$.
    Donc oui c'est moins drôle, et je m'en excuse...

    Sylvain
  • Bonjour!
    Le principal est de participer!
    effectivement si tu avais eu l'idee comme ca, j'aurais dis chapeau bas!
    dans tous les cas merci!

    amicalement :)
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