recouvrir un carré

Aldo0

t-mouss,

je ne suis pas vraiment convaincu par ton argument de continuité. Regarde la figure jointe :

lorsque la droite tourne dans le sens de la flèche, la différence des aires croit (en valeur absolue) pour atteindre un max qui est l'aire du triangle et passe brutalement à zéro lorsque la droite ne coupe plus le triangle.

Aldo.

l.g

bonsoir a tous.

cela fait penser a une blague??

si je prend un carré de coté n que je divise en 2 par son hypoténuse j'ai deux triangles de même aire , toute triangularisation dans ces deux triangles donnerait un nombre de triangle de même aire que multiplie 2 donc forcément pair. soit un triangle original et sa réflexion..non?

Domi4

l.g ,

relis l"ensemble du post , Probaloser a déjà dépensé beaucoup d'énergie à expliquer à Pablo la grosse erreur de raisonnement que tu commets .

Domil

gilbert.L

Auteurs: Domi (---.w83-202.abo.wanadoo.fr)
Date: 03-31-06 19:54

l.g ,

relis l"ensemble du post , Probaloser a déjà dépensé beaucoup d'énergie à expliquer à Pablo la grosse erreur de raisonnement que tu commets
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Domi,

la question est bien:
a)On recouvre un carré par des triangles d'aire égale.
b)Démontrer que le nombre des triangles est obligatoirement pair .

donc je recouvre mon carré par un nombre K de triangles d'aire égale a)
("ce que l'on ne me demande pas de démontrer")

b): que ce nombre K, soit pair ou impair, qu'est ce qui m'interdit de diviser ces K triangles en 2 parties égales d'où forcémnt un nombre pair de triangle de même aire ..!

à chaque fois il me suffirait de diviser ce nombre K de triangles par 2
le nombre minimale en entier de triangle d'aire égale, dans un carré étant 2,.
il me suffit d'en faire trois de même aire, pour en avoir six de même aire, et comme le nombre de triangles pour une aire carré donné est nécéssairement fini; il me suffirra de les diviser par 2 , pour obtenir un nombre pair de triangle de même aire!

Domi4

Gilbert , je ne crois pas que j'aurai le courage de Probaloser , donc lis attentivement ce qui suit car après je laisse tomber .
<BR>
<BR>La question est :
<BR>
<BR>On recouvre un carré par des triangles d'aire égale.Démontrer que le nombre des triangles est <B>obligatoirement</B> pair.
<BR>
<BR>S'il existait un nombre impair de triangle recouvrant le carré , tu pourrais découper tes triangles en deux , quatre , six , huit ... pour obtenir une partition paire , tu ne supprimerais pas pour autant l'existence de ta première partition qui infirmerait l'affirmation ci-dessus .
<BR>
<BR>C'est de la logique élémentaire
<BR>
<BR>Domi<BR>

gilbert.L

Domi,
tu as raison, puisque la question aurait du être il est impossible de découper un carré en un nombre impair de triangle de même aire.
ce qui nous fait poser la question:
peut on faire un triangle avec un nombre impair de carré de 1 de côté ("pour rester dans les entiers")
par exempl: j'ai un carré de côté 3, soit 9 carré de un puis je fair 3 tiangles d'aire égale donc forcément avec 3 carrés de 1, chacun, réponse non!
puis avec n=5 etc ..n = 7 si c'est impossible avec N et N+ 2, pour N impair, cela serra (je suppose) impossible pour tout N impair;

puisqu'il me manquerait au minimum un carré de 1 de côté pour obtenir deux triangles égaux si je ne dispose que de 3 carré de 1 de côté.
c'est à dire un triangle originale avec 1 carré de 1 et deux demi carrés partagé par l'hypoténuse
et le triangle opposé avec unique ment deux demi carrés.
pour N = 5 (soit 5 triangles de 5 carrés);
un triangle de 5 carrés de 1 de côté , il me manque toujours un carré de 1 pour faire deux triangle égaux;
par conséquent il est impossible de faire un nombre impair de triangle de même aire dans un carré, car cela revient à partager un nombre impair de carré en deux entiers

donc par obligation faisable uniquement avec un nombre pair de triangle en commençant par un carré divisé par deux

gilbert.L

Relation d'Euler
Soit un polyèdre convexe, on note :

f le nombre de faces de celui-ci,
a le nombre d'arêtes de celui-ci,
s le nombre de sommets de celui-ci,
On peut démontrer qu'on a toujours la relation d'Euler :

Par exemple :

pour le cube : f = 6, s = 8, a = 12, d'où f − a + s = 6 − 12 + 8 = 2.
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Faut-il donc utiliser la relation d'Euler qui ne serait plus vérifiée s'il existe un nombre impair de triangles d'aire égale, recouvrant un carré ?

antipotiquement correct

pour domi : j'ai effectivement considéré ce cas et j'ai pensé que cette discontinuité serait compensée par d'autres au niveau des triangles adjacents mais cela est loin d'être évident. Je vais donc essayer de montrer que si on a un nombre impaire de triangles dans Z on en a aussi un nombre impair dans X union Y.

Je pense qu'il faut arriver à trouver une bonne fonction pour déterminer X Y et Z affin d'utiliser le même genre d'argument.

Je pense finalement qu'on touche au but et qu'avec un peu d'intuition on peut arriver à rendre ce raisonement correct.

Qu'en pensez vous ?

t-mouss

gilbert.L

aldo,
je pense qu'il y a toujours continuité, car sa droite lorsqu'elle ne coupe plus le triangle elle en coupe un autre et ceci ne change pas grand chose et continuer a supposer un nombre impaire de triangles dans Z

Domi4

t-mouss,

Tu as peut-être raison , continue sur cette voix . Je regarderai aussi à l'occasion , mais le temps m'est un peu compté en ce moment .
En tout cas j'essaierai de suivre tes posts .

Domi ( que tu peux tutoyer comme c'est la coutume sur ce forum )

gilbert.L

t-mouss
il y a un petit détail:(peut être faute de compréfension)

qu'est ce qui permet d'affirmer que le nombre de Triangles reste constant dans z lorsque l'on fait pivoter la droite D dans un sens ou dans l'autre.
car en supposant qu'au départ la droite d, traverse et divise le carré en deux rectangles égaux elle prend un nombre z de triangles qui est la zone Z sur D,
lorsque l'on fait pivoter cette droite D, en direction d'un des angles du carré, elle s'allonge, elle peu donc prendre un triangle ou N triangle de plus de tel sorte que la zone Z a une aire plus grande,
si l'aire du carré ne change pas a gauche et a droite de D, rient ne permet de dire qu'il en est autant de Zg ou Zd.
exemple : j'ai au départ 4 triangles en Z sur D
en X =5 et en Y =5, x=y.
je pivote en direction de l'hypoténuse j'ai 5 triangles en Zsur D donc X -1, ou Y-1 d'où Zg n'a plus la même aire que Zd, ou l'inverse.???

gilbert.L

en définitive on ne dit rien sur l'aire qui doit être égale et qui est capital.

la somme des angles du carré = 360° .

il est évident que je ne peux recouvrir ce carré avec 3 Tr d'aire égale il faudrait que la somme des angles de chacun de ses 3 Tr = 120°
autrement dit il faut que je divise n x 180° par 360 avec n impaire ???

LuNaTiC

hum je crois qu'il y a un petit malentendu gilbert.

Je ne fais tourner la droite que pour utiliser la continuité et conclure à l'existence d'UNE situation qui m'interesse. Dans toute la suite je travaille dans cette configuration et la droite ne bouge pas.

En fait le point clé pour le cas impaire dans Z est de montrer que l'aire du domaine de Z sur G diffère d'une aire de triangle de base de celle sur D.

t-mouss

gilbert.L

bonjour T-mouss.
(je me suis mal exprimé, excuse moi)

ce qui veut dire que quelque soit D coupant le carré en deux , en partant de n'importe quel point d'un côté du carré tu as obligatoirement un nombre paire de Triangles T, d'où par la condition de départ tu ne peux avoir dans x et y qu'un nombre paire de T, car une différence de parité indiquerait une différence d'aire dans 1 triangle au minimum;soit dans X ou Y.
donc tu démontre que la zone Z sur D a toujours un nombre paire de T, car un nombre impaire de T , donnerait une différence d'aire dans Z.G par raport a D, ou l'inverse ; et par conclusion un triangle dans Z impaire n'aurait pas la même aire .