Lemme de Zorn et semi-normes

Alban

Bonjour,

Voilà, un petit truc sur lequel je tourne en rond depuis 1h:
J'ai $X \subset Y$ deux Banach et je considère $\mathcal{F}=\{\rho$ semi-normes vérifiant $\rho(x)=||x||$ pour $x \in X$ et $\rho(y) \leq ||y||$ pour $y\in Y \}$.
Cet ensemble est partiellement ordonné par $\rho \leq \rho'$ si $\rho(y) \leq \rho'(y)$ pour tout $y \in Y$ et je voudrais démontrer qu'il admet un élément minimal en appliquant le lemme de Zorn.
Je considère donc $(\rho_i)_{i \in I}$ une famille totalement ordonnée de semi-normes de $\mathcal{F}$ et je veux démontrer qu'elle admet un plus petit élément m.
Pour y fixé je pose $m(y)=\inf \rho(y)$ ce qui me paraît naturel, mais je n'arrive pas à montrer que $m$ est une semi-norme (l'inégalité triangulaire seule pose problème).
Intuitivement c'est évident mais je n'arrive pas à le montrer.
Si quelqu'un a une idée....

bosio frederic0

Prends deux elements $u$, $v$ et un $\epsilon > 0$. Trouve une semi-norme $m'$ dans la famille ou $m'(u) - m(u) < \epsilon $ et $m'(v) - m(v) < \epsilon $. En appliquant a $m'$ l'inegalite triangulaire, tu as l'inegalite sur $m$ a $2 \epsilon $ pres et comme $\epsilon $ est arbitrairemeent petit, tu l'as vraiment.

Alban

Bah voilà... je savais que c'était trivial cette affaire !
Merci bien.