plus petit qu'aleph0

Bonjour!
Theorie des ensembles quant tu nous tiens...
Bon alors en fait voici ce que je veux demontrer:
card(N) est le plus petit cardinal d'un ensemble infini.
mais j'ai l'impression que ma demo ne tient pas la route...
voici ce que je considere:
On suppose qu'il existe un ensemble infini E tel que:
card(E) < aleph0
on a: ($x_0$,$x_1$,....,$x_n$) les elements de cet ensemble.
On suppose qu'on ne peut pas etablir de bijection de N sur E.
C'est absurde: en effet, la bijection:
o->$x_0$
1->$x_1$
.....
.
.
n->$x_n$
convient.
on a montrer que card(E)= aleph0.
Donc il n'existe pas d'ensemble infini dont le cardinal est inferieur à aleph0.
J'ai quand même l'impressions que c'est faux. Ou est l'erreur?

amicalement :)
PS: je ne suis pas defaitiste...

Réponses

  • en fait, je crois que c'est uns question de definition.. on part de 0, on lui ajoute son successeur, puis le successeur de 1,.. etc.. comme "humainement" on doit s'arreter a un moment, on utilise un axiome qui permet de dire qu'il existe un ensemble qui pour tout element, contient le successeur de cet element. c'est donc la definition de $\N$ qui prouve que c'est le "premier" ensemble infini qu'on peut creer par "passage a la limite" d'ensembles finis.. donc dans l'absolu, ta demo n'est pas vraiment fausse, mais tu ne fais que redonner la definition, car ecrire $(x_1 .. x_n ... )$ sous entend deja que tu prend un ensemble qu'on peut compter, cad un ensemble denombrable.

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    Je viens de m'installer en allemagne, et je patine un peu en algebre. aussi, ne soyez pas surpris si je vous sollicite; ce n'est pas par flemme, mais bien parce que j'aimerais faire mes DM en entier
  • Bonjour!
    J'ai peut-etre trouve mon erreur, je considere E un ensemble infini denombrable; mais si E est non denombrable, il a clairement un cardinal superieur à alpeh0. Donc dans ma demo, je differencie les deux cas; et je conclue de la même facon. Est-ce correct, ou y a t'il encore est toujours une erreur? merci d'avance...

    amicalement :)
  • Bonjour!
    Tire-croise jobherzt, mais merci quand même, donc normalement avec le rajout de mon dernier message, ca marche?

    amicalement :)
  • ben, je sais pas trop ce que tu veux dire. si il est denombrable, il est de meme cardinal que $\N$ par definition. s'il ne l'est pas, tu dis qu'il est de cardinal strictement plus grand que $\N$. donc si on te suit, la question ne se pose pas dans les 2 cas. c'est pour ca que je ne pense pas qu'il y ait besoin d'une demonstration, comme j'essaie maladroitement de l'expliquer plus haut.. si tu veux une idee, je dirais qu'il faut raisonner en se disant que tout ensemble infini a une sous partie en bijection avec tout ensemble fini arbitrairement grand. donc si tu supposes qu'il ne possede pas de sous partie en bijection avec $\N$, tu tombes sur une contradiction. mais ca n'est pas une vraie demo, ca n'est qu'un autre maniere de donner la definition de $\N$....

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  • Bonjour à tous deux.

    Première chose : tout ceci n'est valable qu'en présence de l'axiome de choix. Ensuite pourquoi tordre un raisonnement pas contraposition quand on peut faire un raisonnement direct ?

    Nous supposons que $E$ est infini ; par conséquent, il existe $a_0 \in E$ et $E \setminus \{a_0\} \neq \emptyset$. On peut répéter le raisonnement pour tout entier $n \in \N$ puisque $E$ est infini. Par conséquent, on construit par récurrence une injection de $\N$ dans $E$ (c'est ici qu'intervient l'axiome de choix) d'où :$$\overline\overline\N \leq \overline\overline E.$$

    Bruno
  • Bon, voilà la dernière ligne :4096
  • euh.. jolie demo, mais ca me semble bizzare que AC soit necessaire pour "prouver" que $\N$ est le plus petit ensemble infini... je pensais vraiment que c'etait sa definition, point !

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  • Et bien l'axiome de choix intervient pour t'assurer que l'objet $\{a_0,...,a_n,...\}$ est bel et bien un ensemble ce qui ne découle pas des autres axiomes de la théorie formelle.

    Je ne suis pas un spécialiste, mais si on enlève l'axiome de choix, il me semble qu'il peut exister des ensembles "infinis" qui ne sont pas en bijection avec une partie stricte d'eux-même et il existe également des ensembles non comparables à $\N$.

    Autrement dit, les spécialistes sont plus prudents que toi et se gardent bien de supposer par une définition ou quel qu'autre axiome le résultat qui te paraît naturel.

    Ceci dit, je suis tout à fait d'accord pour admettre que $\N$ s'injecte dans n'importe quel ensemble infini ; je n'ai pas besoin de quelque chose de plus sophistiquer pour faire les petites mathématiques qui m'intéressent. Il reste que je pense bon de connaître ce genre de lien.

    Bruno
  • ne t'inquiete pas, je suis prudent, je ne m'arrete pas a ce qui me parait "evident".. j'essaie de fonctionner avec des axiomes et des definitions. or, il me semble que l'axiome de l'infini dit en substance ceci :

    "il existe un ensemble qui contient $\emptyset$ et tel que si il contient $X$ alors il contient aussi $X \cup \{X\}$. "

    c'est cet ensemble qu'on a choisi d'appeler $\N$ (en gros.. ) et il est infini par definition, puisque cet axiome sert justement a introduire l'infini. donc sans cet axiome {\bf on ne pourrait pas dire d'un ensemble qu'il et infini}.
    par consequent on a le droit d'appeler un ensemble "infini" si et seulement si il se conforme a cet axiome ( et dans ce cas il est semblable a $\N$, ca n'en est qu'un autre modele possible ) ou s'il est construit a partir d'un ensemble qui se conforme a cet axiome ( par passage a l'ensemble des parties par exemple ). donc dans tous les cas, on doit passer par {\bf un modele } des entier naturels. sinon, comment peux tu affirmer que ton ensemble est infini ? il faut bien s'entendre sur ce que signifie "infini" a un moment..

    en tout cas, c'est ce que je crois, et tu remarqueras que mon raisonnement est relativement formel et ne se base pas sur des evidences, mais bien sur des axiomes... :-)

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  • Petites remarques :

    N étant un ensemble, ainsi que E, dans lequel on injecte N, l'image de N est obtenue en spécifiant les éléments x de E tels qu'il existe un entier vérifiant a(n)=x.
    C'est une application d'un axiome qui porte des noms variés ( séparation, compréhension) : on spécifie, par une propriété de ses éléments, une partie d'un ensemble supposé exister. (Marcherait aussi le "remplacement", on part d'un ensemble et son image par une fonction en est un). Sous cette forme là ce n'est pas le Choix.

    La définition rappelée par jobherzt est celle d'un ensemble inductif (on peut dissocier : "on appelle ensemble inductif..." et "il existe un ensemble inductif" ce dernier énoncé étant tenu pour l'axiome de l'infini à proprement parler). Ce point de vue incite à définir N comme le plus petit ensemble inductif (N= l'ensemble des x qui appartiennent à tout I inductif). On a cela par exemple dans Jech et Hrbacek, Introduction to Set theory.

    Il y a, sans doute, un énoncé à reformuler à partir du souhait de racinede cheveux (en se débarassant de la référence aux alephs) : celui-ci vous convient-il? Répond-il à son envie de démontrer quelque chose ?

    "Soit E un ensemble qui s'injecte dans N, mais tel que N ne s'injecte pas dans E.
    Il n'existe pas d'injection de E sur l'une quelconque de ses parties propres".

    L'hypothèse revient à dire que E est strictement plus petit que N en cardinalité.
    La conclusion, c'est la non infinité de E.


    [Corrigé selon tes indications. AD]
  • Petites remarques (suite)

    Corrections :

    dans le précédent message

    lire "N étant un ensemble" plutôt que "si N est un ensemble..." (pas très heureux).

    lire "les éléments x de E tels que..." et non les "éléments a de E...".

    (la notation a c'est pour la suite de Bruno, je ne sais pas encore utiliser Latex et écrire les indices).
  • J'ai besoin dun temps de réflexion, étant occupé ces quelques jours.

    Bruno
  • En fait les choses se présentent sous des jours assez différents selon que l'on choisit l'entrée de racinesdecheveux ou celle de Bruno.

    Bruno démontrerait plutôt

    "tout ensemble infini possède un sous-ensemble dénombrable"

    Sous cette forme-là, il faudra l'axiome du choix. Mais, si je comprends bien, ce n'est pas la récurrence qui y oblige. C'est l'identification des éléments de E que l'on retire pas à pas. Autrement dit : on y arriverait en supposant que E peut être bien ordonné. Là on a besoin du choix.

    Quand racinedecheveux commence avec Card(E)<Card(N), on a une injection de E dans N (appelons cette injection j). Alors quand on s'attache à démontrer l'énoncé que j'ai proposé (avec comme définition de l'infini : "s'injecte dans l'une ses parties propres") on peut utiliser le bon ordre de N.

    On raisonne par l'absurde : en supposant que E s'injecte dans l'une de ses parties propres (soit i une telle injection), on définit une injection de N dans E.

    L'hypothèse donne en fait une suite strictement descendante de parties de E.

    En effet si F=i(E), avec F strictement inclus dans E, on a : i(F) strictement inclus dans F (car les éléments de E-F ne sont plus atteints).

    On pose F(O)=E et F(k+1)=i(F).
    (pas besoin du choix pour définir par récurrence sur N).

    Puis l'on définit une injection I de N dans E :

    I(k)=l'unique x appartenant à E tel que j(x)=min(j(F(k)-F(k+1)))

    Par exemple I(0) est l'antécédent du plus petit entier dans j(E-F).

    Bref, ici c'est le bon ordre sur N qui "choisit" pour nous. Et le bon ordre sur N s'obtient sans axiome du choix.

    Tout ceci est très proche du diagnostic de jobherzt à un petit truc près : la possibilité de démontrer quelquechose puisque la définition de "infini" retenue (l'infini-Dedekind) ne mentionne pas N.
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