constante d'Euler

Bonjour!
Je travaille sur zeta 1, et je dois trouver une approximation à 10^-1 pres de la constante d'Euler; et ce à partir des deux suites adjacentes:
$v_n= sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - ln(n)$ et
$w_n= sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}- ln(n)$
leur limite commune est bien entendu la limite recherchee
mais j'avoue que je ne vois pas vraiment comment la trouver....
si quelqu'un peut me donner une piste

amicalement :)

Réponses

  • Tu n'as qu'à calculer $v_n$ et $w_n$ pour $n=1,2,\ldots$ jusqu'à ce que la différence $v_n-w_n$ soit inférieure à 0.1, et puisque la constante que tu cherches est entre les deux, tu as ton approximation...non ?
  • Bonjour!
    pas bete! mais:
    $v_n-w_n = 1/n$
    donc on veut 1/n10
    je prends donc n=11
    $\sum_{k=1}^{11}\frac{1}{k} - ln(11)\sim 0.622$
    (environ egal, je sais pas faire le signe en Latex)
    or gamma environ egal à 0.57721
    y a pas un petit probleme quelque part? j'ai loupe quelque chose?
    je peux toujours essayer avec des valeurs de n de plus en plus grandes mais ca va pas vraiment etre des maths tout ca, plutot utilisation d'une calculette....et puisque je connais deja le resultat, ca serait inutile.
    merci quand même

    amicalement :)
  • erreur à 10^-1 près signifie une erreur de +/- 1 sur la 1° décimale : c'est bien ce que tu recherchais, non ?
  • Bonjour!
    C'est ce que je dois effectivement calculer...
    je me suis peut-etre egare avec une troncature à 10^-1
    là doit etre mon erreur, non?
    Maintenant je quitte mon dm, pour vous demander comment on fait pour calculer au mieux cette constante? On peut bien evidemment tenter de calculer sur ordi la suite pour des n de plus en plus grand...
    mais il ya surement une meilleure methode, par encadrement peut-etre, ou une integrale, une fonction speciale... non?
    Si quelqu'un a des renseignements là dessus, je vais effectuer une petite recherche.... merci :)

    amicalement :)
  • Une suggestion : éviter de parler de $\zeta(1)$ !

    Borde.
  • Je profite de ce post pour demander s'il existe un nom générique pour désigner une expression de la forme $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}f'(k)-f(n)}$

    Sylvain
  • Bonjour!
    zeta 1 renvoie à un probleme du fait de sa divergence sur la courbe de la fonction zeta de Riemman, c'est pour ca qu'on ne l'utilise pas?
    je voulais juste eviter d'ecrire deux fois la somme....
    euh personne a une methode pour calculer beaucoup de decimal de cette constante?

    amicalement:)
    PS: la question de Sylvain m'intrigue aussi
  • En fait Zeta(1) n'est pas défini, car 1 est l'unique pôle (simple, de résidu 1) de Zeta. Tout au plus peut on dire que $\displaystyle{\lim_{z\rightarrow 1}\zeta(z)=\infty}$ et $\displaystyle{\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)\zeta(z)=1}$.

    Sylvain
  • Bonjour!
    Je me disais aussi, j'ai fais un abus de vocabulaire, desole!

    amicalement :)
  • Bonjour !
    J'ai fait une petite recherche sur la constante, voilà ce que j'ai pu trouver pour l'instant :
    <http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_d'Euler-Mascheroni&gt;
    <http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/ConEuler.htm&gt;
    <http://pi.lacim.uqam.ca/fra/records_fr.html&gt;
    En esperant que ca serve un jour à quelqu'un.
    Amicalement :)
  • Racinedecheveux,

    Je n'ai pas eu beaucoup de temps pour te répondre tout à l'heure, aussi je me rattraperai maintenant...Une manière d'exhiber des décimales de $\gamma$ consiste à utiliser la formule d'EulerMacLaurin. On en a déjà parlé souvent ici...Par exemple, on peut montrer que $$\gamma = \frac {1}{2} + \frac {1}{12} - \frac {1}{120} - \int_{1}^{\infty} \frac {B_4(x)}{x^5} \, dx.$$

    Borde.
  • Au fait, que sait-on de l'arithmétique de la constante? (pour Borde peut être?).
    Bien amicalement.
  • (Très) bonne question...A ma connaissance, on a très peu de résultats concernant les propriétés arithmétiques de $\gamma$. On ignore même s'il est irrationnel ou non, bien que l'on pense qu'il l'est, puisque l'on a ainsi montré que, si $\gamma \in \Q$, alors le dénominateur possèderait au moins $242 \, 080$ chiffres...

    Borde.
  • ok merci beaucoup.
    C'est fascinant la difficulté qu'on éprouve à montrer l'irrationalité des constantes 'usuelles', sans parler de la transcendance...
  • Exact...Voir aussi les $\zeta(2n+1)$ avec $n \geqslant 1$ entier, et les derniers résultats obtenus à ce sujet par T. Rivoal.

    Borde.
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