trigo

Sasha1

Soit $s$ un point sur l'axe des abscisses de $\mathbb{R}^2$ à une distance $r>1$ de l'origine (à gauche ou à droite cela n'a pas d'importance). Soit une demie droite issue de $s$ qui fait un angle $\gamma$ avec l'axe des abscisses. $\gamma$ est assez petit de telle sorte que la demi droite frappe le cercle unité en deux point $x_1$ et $x_2$.

Je n'arrive pas a calculer la longueur du segment $[x_1,x_2]$


grrrrrr

merci !

Sasha1

De manière générale, si quelqu'un pouvait me donner un lien vers des formules de longueurs de droites intersectées avec des boules, ça m'interesse....

Sasha1

Je précise que je suis actuellement à l'étranger et que ni google ni yahoo ne fonctionnent (vive la censure...)

GERARD5

Je vois deux possibilités simples :
* Géométrie analytique : Equation du cercle + équation de la droite (sa pente est tan(alpha).
*Utiliser les angles de la figure pour calculer la distance de O à la droite.

Cordialement

Nicolas_75

Bonjour,

J'ai fait cela vite, mais il me semble que :

a. la longueur $x_2-x_1$ (sur l'axe des abscisses) vaut :
$$x_2-x_1=2\sqrt{1+\tan^2\theta-a^2\tan^2\theta}$$

b. la longueur de la corde vaut :
$$M_1M_2=2\sqrt{(1+\tan^2\theta)(1+\tan^2\theta-a^2\tan^2\theta)}$$

A vérifier.

Nicolas

Nicolas_75

... où le point par lequel passe la droite a pour coordonnées $(-a;0)$ avec $a>1$
et où mon $\theta$ est ton $\gamma$

GERARD5

Cela me semble juste, et simplifiable en transformant le 1 + tan² en inverse de cos².

Cordialement

Nicolas_75

Après relecture, j'ai oublié un dénominateur !

Nouvelle proposition :

$$M_1M_2=2\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}$$
$$|x_2-x_1|=2\cos\theta\sqrt{1-a^2\sin^2\theta}$$

avec la condition $0

Nicolas_75

Je me suis pris au jeu d'essayer de rédiger la réponse en $\LaTeX$. Cf. fichier joint. Cela me donne surtout une bonne occasion de faire des schémas sous TeXgraph, que j'essaie en ce moment d'apprivoiser. :-)

Sur la 3ème page, une petite vérification qu'en balayant le cercle trigonométrique par la corde, on retrouve bien l'aire du disque unité.

Sauf erreur.

Nicolas

Nicolas_75

Je me suis pris au jeu d'essayer de rédiger la réponse en LaTeX. Cf. fichier joint. Cela me donne surtout une bonne occasion de faire des schémas sous TeXgraph, que j'essaie en ce moment d'apprivoiser. :-)

Sur la 3ème page, une petite vérification qu'en balayant le cercle trigonométrique par la corde, on retrouve bien l'aire du disque unité.

Sauf erreur.

Nicolas

Nicolas_75

Je me suis pris au jeu d'essayer de rédiger la réponse en LaTeX. Cf. fichier joint. Cela me donne surtout une bonne occasion de faire des schémas sous TeXgraph, que j'essaie en ce moment d'apprivoiser. :-)

Sur la 3ème page, une petite vérification qu'en balayant le cercle trigonométrique par la corde, on retrouve bien l'aire du disque unité.

Sauf erreur.
Nicolas

Nicolas_75

En complément du fichier ci-dessus, voici un nouveau document proposant une solution plus géométrique (sans équation de droite), mais néanmoins bourrine. Peut-être existe-t-il plus subtil...

Sasha1

Et ben dis donc je ne pensais pas motiver autant les foules !

Désolé de ne pas y avoir pris part, mais lorsque les réponses tombaient il était en général trop tard pour moi, nous avons 7H de décalage horaire

Nicolas_75

Bonjour Sasha,

Pour ma part, je suis (agréablement) surpris que le résultat s'exprime aussi simplement. :-)

Nicolas