extremum de f(x,y)

racinedecheveux

Bonjour!
Bon normalement c'est la derniere fois que je vous embete aujourd'hui; c'est parce que je retravaille sur un livre d'exo sans les corriges...
Alors je voudrais savoir si la fonction suivante à des extremums:
$f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$
$\frac{\partialf}{\partialx}= \frac{y^3-yx^2}{(x^2+y^2)^2}$ et
$\frac{\partialf}{\partialy}= \frac{x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}$
donc on resoud le systeme:
$y^3=yx^2 \Leftrightarrow y=\frac{y^3}{x^2}$
faut aussi enlever les valeurs interdites...
euh je trouve $x^5 = y^6$ donc $x^2 = y^(12/5)$
et donc je suis amene à resoudre: y(1-y^(-2/5))=0
donc y=0 ou y=1 et dans ce cas respectivement x=0 ou x=1
on obtient les points (0,0) et (1,1) (c'est les valeurs interdites ca non?;
Est-ce que c'est correct? ou alors la fonction admet des extremums?
merci d'avance

amicalement

racinedecheveux

Arf! tout est pas passe dans le message!
j'arrive pas à faire afficher les derivees partielles et il manque une partie au systeme!
faut rajouter: x^3= xy²

amicalement

Alain Debreil

Bonjour !
Bon normalement c'est la dernière fois que je vous embête aujourd'hui ; c'est parce que je retravaille sur un livre d'exo sans les corrigés...
Alors je voudrais savoir si la fonction suivante à des extremums : $f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2+y^2}$
$\dfrac{\partial f}{\partial x}= \dfrac{y^3-yx^2}{(x^2+y^2)^2}$ et $\dfrac{\partial f}{\partial y}= \dfrac{x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}$
Donc on résout le système:
$y^3=yx^2 \Leftrightarrow y=\dfrac{y^3}{x^2}$
Il faut aussi enlever les valeurs interdites...
Euh je trouve $x^5 = y^6$ donc $x^2 = y^{12/5}$
et donc je suis amené à résoudre : $y(1-y^{-2/5})=0$
donc $y=0$ ou $y=1$ et dans ce cas respectivement $x=0$ ou $x=1$
on obtient les points $(0,0)$ et $(1,1)$ (c'est les valeurs interdites ça non ?
Est-ce que c'est correct ? Ou alors la fonction admet des extremums ?
Merci d'avance

Amicalement

guiguiche

Ta résolution de système est fausse. Factorise les expressions de tes deux dérivées partielles, il doit apparaître deux droites remarquables sécantes en (0,0).

J2L21

Je relève 3 pbs :

- attention à ton équivalence qui n'en est pas une (aussi : avant d'étudier une fonction, donne toujours son domaine de définition)

- df/dx = df/dy = 0 est une condition nécessaire d'extémum, mais elle n'est pas suffisante !

- pourquoi (1,1) est-elle une valeur interdite ?

racinedecheveux

Bonjour!
En fait (comme souvent) je ne sais pas comment on doit correctement procede, j'ai appris ca en lisant un exemple, mais je n'en sais pas plus...
pour l'equivalence, je ne sais pas ce qui pose probleme, si on detaille un peu plus le probleme ce serait mieux...
quelles sont les cns au complet pour avoir un extremum?
euh oui pour le point (1,1) interdit, j'ai cracke! je sais pas pourquoi j'ai trouve ca; trop de math dans la journee....
enfin voilà, il faut une fois de plus m'eclairer un peu plus profondement....
merci d'avance pour vos conseils...

amicalement

guiguiche

Je me répète: factorise ! (c'est presque toujours une bonne idée)
Peut-on diviser par x à coup sûr ?

Gaston

pour une fonction de classe $C^2$, on caractérise les points critiques avec la matrice Hessienne. Si $a$ est un point critique alors il s'agit de la matrice dont les coefficients sont $\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(a)$.
Si elle est dégénérée, on ne peut rien dire à coup sûr.
Si elle est définie positive, alors $a$ est un minimum local.
Si elle est définie positive, alors $a$ est un maximum local.
Sinon, $a$ est un point selle (ou point col).

Bruno

Bonjour racinedecheveux.

Devant une telle fonction, il faut toujours examiner un peu la situation avant de plonger dans les ennuis.

Ta fonction est homogène de degré 0 : pour tout réel $a \neq 0$, tu as $f(a\,x,a\,y) = f(x,y)$ ; elle ne dépend donc que de l'azimut : posant~$x = r\,\cos\theta$ et~$y = r\,\sin\theta$, tu obtiens : $$\forall\,(r,\theta) \in \R^* \times \R \quad f(x,y) = g(\theta) = \frac 1 2\,\sin(2\,\theta).$$Je te laisse en tirer les conclusions.

Bruno

racinedecheveux

Bonjour!
hum hum.... la fonction est pi-periodique?
Je retiens l'idee du changement avec les theta, et aussi la factorisation...
pour la matrice, c'est surement bien mais... pas pour moi pour l'instant;
je repose une fois ma question, que faut il rajouter comme condition pour avoir un extremum, grad(f) = 0 ne suffit pas?

amicalement
merci de m'eclairer

Yalcin

Bonjour

Je suis la méthode employée par racinedecheuveux :

$\displaystyle{f(x,y) = \frac{{xy}}{{\left( {x^2 + y^2 } \right)}} \Rightarrow \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{{y(y + x)(y - x)}}{{\left( {x^2 + y^2 } \right)^2 }}\textsf{ };\textsf{ }\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = \frac{{x(x + y)(x - y)}}{{\left( {x^2 + y^2 } \right)^2 }}}$.

$\displaystyle{f(x,y) = extremum_f \Rightarrow \frac{{y(y + x)(y - x)}}{{\left( {x^2 + y^2 } \right)^2 }} = 0\textsf{ et }\frac{{x(x + y)(x - y)}}{{\left( {x^2 + y^2 } \right)^2 }} = 0\textsf{ avec }\left\{ {x,y} \right\} \ne 0}$.

$\displaystyle{f(x,y) = \textsf{extremum}_f \Rightarrow (y + x)(y - x) = 0\textsf{ }\textsf{, donc }f(x,y) = \textsf{extremum}_f \Rightarrow x = y\textsf{ ou }x = - y}$.

$\displaystyle{f(x,x) = \frac{1}{2}\textsf{ et }f(x, - x) = - \frac{1}{2}\textsf{ },\textsf{ donc max}_f = \frac{1}{2}\textsf{ et min}_f = - \frac{1}{2}}$.

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin

Yalcin

AD,peut tu mettre avec {x,y} non nul l apremière ligne de latex aussi ?
Merci

Richard André-Jeannin2

Dans le même ordre d'idée que Bruno:
|f(x,y)|<=1 et f(x,x)=1, f(x,-x)=-1.

Richard André-Jeannin2

Correction:|f(x,y)|<=1/2 et f(x,x)=1/2, f(x,-x)=-1/2.

Bruno

Rebounjour racinedecheveux.

Pour une fonction de deux variables (ou plus en adaptant), assez régulière, il n'y a qu'une voie de salut : la formule de Taylor (avec reste convenable) ; on obtient alors la matrice hessienne dont parle Gaston qui détermine la forme quadratique qui doit être définie, positive pour un maximum local et définie négative pour un minimum local.

Bruno

ryo0

Grad (f) =0 ne suffit pas pour avoir un extremum local.
En revanche c'est une condition necessaire

Un exemple tout bete dans R : $f(x)=x^3$ qui a sa derivee nulle en 0 mais qui ne possede aucun extremum local

Pour determiner les extremums d'une fonction de $R^2$ dans $R$ on commence par regarder ou on a des point critiques (ie des points ou le gradient est nul)

Puis on calcule des derivees secondes
Pour remplacer l'histoire de la matrice il y a une autre chose (qui revient en fait au meme mais sans parler de matrices)
On calcule les derivees partielle secondes aux point critiques

Si $\frac{\partial^2f}{\partial x^2} >0$ et $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} >0$ on a un minimum local

Si $\frac{\partial^2f}{\partial x^2} >0$ et $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} < 0$ on a un max local

Si $\frac{\partial^2f}{\partial x^2} =0$ et $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} =0$ on ne peut rien dire (c'est par exemple le cas de mon exemple)

Dans les autres cas on a un point selle


(je n'ai pas mis les points critiques en arguments de la fonction mais a chaque fois on calcule les derivees partielles secondes aux point critiques)

ryo0

Desole racine de cheveux je me leve tout juste et je t'aide pas vraiment

il faut remplacer $\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}$ par $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}*\frac{\partial^2f}{\partial y^2}-(\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y})^2$ dans mes criteres (ca correspond au determinant de la matrice hessiennne de f)

Bruno

Je préfère :-))

Bruno

racinedecheveux

Bonjour!
Merci pour toutes vos indications, ca m'eclaire.
Je vais voir ce que je peux faire avec tous ca, la methode proposee par ryo m'a lair tres interessante.

amicalement

Gaston

Le raisonnement de Yalcin est bien sûr faux.
Quand on est simplement dans $\R^2$, la méthode de ryo est efficace et s'appelle la méthode de Monge.

Enfin, rappelons quelque chose qui n'a pas été signalé : un extremum est un point critique si on est sur un domaine ouvert ! Dans le cas contraire, c'est faux.

Yalcin

d'ac Gaston, je n'ai pas étudié le chapitre sur ces fonctions de IR²

GLaG

Autre solution qui évite de sortir l'artillerie lourde : $|xy| \leq (x^2+y^2)/2$, avec égalité ssi $x=\pm y$, donc $|f(x,y)| \leq 1/2$ pour $(x,y) \neq (0,0)$.
Comme $f(x,x)=1/2$ et $f(x,-x)=-1/2$ les extrema sont bien 1/2 et -1/2.

franz0

OK mais quand on ne sait pas il vaut peut-être mieux s'abstenir de répondre, ça évite d'induire les autres en erreur...

Alain Debreil

Autre solution qui évite de sortir l'artillerie lourde :
$|xy| \leq \frac{1}{2} (x^2+y^2)$, avec égalité ssi $x=\pm y$, donc $|f(x,y)| \leq \frac{1}{2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$.
Comme $f(x,x)=\frac{1}{2}$ et $f(x,-x)=-\frac{1}{2}$ les extrema sont bien $\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$.

Bruno

Mon cher Franz, je te trouve bien rabat-joie vis à vis de Yalcin. D'abord, seule la conclusion de ce qu'il a écrit est fausse ; de plus, une règle non écrite du forum c'est que chacun y contribue à hauteur de ses connaissances et surtout, ne se censure pas mathématiquement.

Dans la mesure où Yalcin est en terminales, il a raisonné de façon correcte jusqu'à sa conclusion (exclue).

Bruno

Gaston

Je ne suis pas d'accord avec toi Bruno.
Si chacun présente un raisonnement faux alors qu'un juste a déjà été donné, ça s'appelle du flood.
Tu rappelles que Yalcin est en Terminale : qu'il réponde aux questions de son niveau.

Yalcin

d'accord Gaston,mais je ne veux pas répondre seulement aux questions de mon niveau, je peux répondre aux autres questions ?

Bruno

J'ignore ce qu'est le flood, tu me l'apprends Gaston. Mais notre discussion concerne le mode de fonctionnement du forum et je pense qu'à appliquer strictement une censure auprès d'enthousiastes, on va stériliser le côté formateur du forum.

En bref, je suis assez d'accord que la pratique du "flood" ne doit pas être encouragée, mais de là à censurer désagréablement les gens qui expérimentent leurs façons de procéder et à les réprimander (on ne peut leur interdire de le faire), j'y suis opposé.

Bruno

Yalcin

[Hors maths] : j'adore les ours blancs, car ils sont comme des matheux entourés des maths, les ours blancs sont eux entourés de la neige.

linda0

Salut, à noter que pour les points pour lesquels la matrice Hessienne est dégénérée, on peut regarder ce qu'il se passe dans un voisinage du point ou effectuer un développement limité

muaddob

Pour que Bruno ne soit pas seul à défendre Yalcin :

Il y a la question du flood ... Certes, mais en l'espèce Yalcin est quelqu'un qui ne dit jamais des choses directement stupides, donc il ne mérite certainement pas un :
"OK mais quand on ne sait pas il vaut peut-être mieux s'abstenir de répondre, ça évite d'induire les autres en erreur..."

Deusio : la question du flood porte sur doit-on, peut-on présenter des conneries à un élève ? De la part d'un prof face à des élèves une réponse peut se concevoir, mais je tiens à rappeler qu'ici, il ne s'agit pas de profs face à des élèves (même si c'est souvent ça), mais d'internautes sur un pied d'égalité ! Dans la vraie vie quand on s'interroge sur quelque chose on entend beaucoup de balivernes (y compris les miennes), ça fait partie de la vie. Laissons ce forum dans la vie, siouplait !!

J'ai toujours fait partie des élèves atypiques qui aiment et progressent quand les profs font des erreurs, on m'a souvent répondu qu'au nom des masses qui ne sont pas dans ce cas, un cours doit être parfaitement léché. Dont acte pour un enseignement de masse ! Mais laissez nous un endroit où on peut entendre et dire des conneries !

Yalcin

merci à tous ceux qui m'ont soutenu

racinedecheveux

Bonjour!
Surtout que si Yalcin devait se limiter au niveau TS, le forum perdrait de son apport en connaissance mathématiques et calcul intégral de sa part entre autre...
De plus, si on veut blâmer quelqu'un ce serait plutôt moi, puisque je m'intéresse à un exo en appliquant une "fausse méthode" ; mais doit-on se limiter à des notions dans le programme officiel, ou vaut il mieux s'intéresser aux mathématiques en général, au risque de dire une bêtise une ou deux fois par mois ? A mon avis pour apprendre faut faire des erreurs....

Amicalement

michael

Salut,

Juste pour dire que je suis entièrement d'accod avec Bruno (et les gens d'accord avec Bruno).

michaël.

Gaston

"mais je ne veux pas répondre seulement aux questions de mon niveau, je peux répondre aux autres questions"

oui, tant que tu n'écris pas de bêtises...

Yalcin

d'accord Gaston , ours blanc