Gronwall

lts

bonjour,
j essaie de faire un dm de maths mais je suis bloqué a la 3eme question.


soit A B 2 fonctions a valeurs reelles, continues sur [a,+inf[
et f c1 sur [a,+inf[ tq
f(a)=0 et pour tout t>=a f'(t)=a
f(t)=< $ \int_{a}^{t} B(s) *exp(\int_{s}^{t} A(x)dx)ds$

je connais le lemme de gronwall mais je pense que pour cette qeusrion il manque l hypothese A>0

corentin0

Il faut revenir à la preuve de ce lemme de Gronwall:
prends $g$ la solution qui s'annule en $a$ de $f'=Af+B$, tu as donc $f'-g'\leq 0$ par hypothèse, donc $f-g$ est décroissante, donc $f\leq g$, reste à exprimer ce que vaut $g$.
(j'ai fait les calculs un peu rapidement, mais je n'ai pas eu l'impression qu'il y avait de problèmes)

lts

je vois pas comment tu deduis de
f'-g'<=A(t)*(f-g)
f'-g'=<0

on ne connait pas le signe de A

corentin0

Ah oui tiens, j'ai fait une faute.
On a donc $u'\leq Au$, avec $u(a)=0$, je pense qu'on peut en déduire que $u\leq 0$ sur $[a,\infty[$.
Je n'ai pas d'argument rigoureux là tout de suite, mais heuristiquement, on a une fonction qui part de 0, qui commence par être décroissante, et qui, lorsqu'elle se réapproche de 0, a sa dérivée qui a tendance à devenir négative.
A moins que je ne délire.

corentin0

Bon, ça y est j'ai.
Si $u'\leq Au$, c'est qu'il existe $f(t)\leq 0$ telle que $u'=Au+f$, la résolution explicite de l'équation montre que $u\leq 0$. Ce coup ci ça devrait être correct.

lts

ça l est
<BR>thx<BR>

Alain Debreil

Ah oui tiens, j'ai fait une faute.
On a donc $u'\leq Au$, avec $u(a)=0$, je pense qu'on peut en déduire que $u\leq 0$ sur $[a,\infty[$.
Je n'ai pas d'argument rigoureux là tout de suite, mais heuristiquement, on a une fonction qui part de 0, qui commence par être décroissante, et qui, lorsqu'elle se réapproche de 0, a sa dérivée qui a tendance à devenir négative.
A moins que je ne délire.