Prolongement morphisme groupes

Bonsoir, j'ai une question anodine en apparence, si on se donne $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe de $G$ et $K$ un autre groupe (quelconque).


On suppose qu'on se soit donné un homomorphisme de groupes $f: H \rightarrow K$.

Y a-t-il une manière canonique de prolonger le morphisme $f$ à $G$ tout entier ?

Merci bien.

P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.

Réponses

  • Bonsoir Toto

    Sans condition sur $f,\ G, H, K$ ton problème n'a pas de solution en général.
    $\bullet$ Si $f$ est triviale il y a toujours une solution.
    $\bullet$ Si $f$ n'est pas triviale mais que $G$ est simple non commutatif alors s'il existe un prolongement $\bar f : G \rightarrow K$ alors $\bar f$ injective donc $G$ est un sous-groupe de $K$

    Bref tous les cas peuvent se présenter sans condition supplémentaires.

    Alain
  • Merci Alain. Disons que le morphisme $f$ que j'ai à étudier se trouve être un morphisme de transfert (verlagerung en allemand). Peut-être que dans ce cas il y a une possiblité de prolonger $f$?

    P.S: Nous ne voyons pas d'autre explication.
  • Bonsoir Toto

    Peux-tu préciser ce que tu entends par "morphisme de transfert".
    Merci

    Alain
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