équation différentielle

Salut,
Je cherche $y(x)$ telle que:
$(1)$ $(x-y)dx+(x+y)dy=0$
$(2)$ $xdy+xctg\frac{y}{x}dx=ydx$
merci de ton aide

Réponses

  • Bonjour,

    Les équations différentielles homogènes se traitent en faisant le changement : t = y/x
  • j'ai effectué le changement $t=y/x$ et obtenu pour$(1)$:
    $$\frac{dy}{dx}=\frac{t-1}{t+1}$$
    où je bloque!!
  • il faut aussi faire le changement dy = t.dx+x.dt puisque y=t.x
    On doit arriver à une équation dans laquelle il n'y a plus de y, mais seulement t et x.
  • Salut JJ,
    J'ai essayé ta deuxième indication mais en vain, veuillez me montrer un peu comment ça marche?
    merci
  • Voilà qui est fait :4037
  • Salut JJ,
    par suite à ta méthode que je trouve très raisonnable on a:
    $$arctan(t)+\frac{1}{2}ln(1+t^2)=-ln(|x|)+Cte (1)$$
    mais cette dernière ne permet pas d'expliciter la fonction $t$ pour qu'on arrive à la fonction $y$.
    je sais pas si $(1)$ suffira comme résolution.
    merci
    med
  • il ne faut pas croire que l'on peut toujours exprimer les solutions des équa. diff. avec des fonctions élémentaires ou usuelles. Oui, dans les "cas d'école".
    Mais souvent, il faut faire appel à des fonctions dites "spéciales". Et encore plus souvent en pratique, cela se termine par du calcul numérique.
    Dans le cas présent, on a encore de la chance puisque l'on peut exprimer les solutions sous forme paramétrique (formules jointes)
    Il faudrait tout de même vérifier s'il n'y a pas eu d'erreur de calcul depuis le début !4039
  • Je vous remercie JJ, ta résolution est tout à fait correcte, je vais essayer la deuxième équation, j'espère ne pas te déranger encore.
    med
  • $$xdx+xctg(y/x)dx=ydx (2)$$
    on pose:
    $$t=y/x \Rightarrow y=tx \Rightarrow dy=tdx+xdt$$
    $(2)$ devient:
    $$x(tdx+xdt)+xctg(t)dx=ydx$$
    $$\Leftrightarrow ctg(x)dx+xdt=0 (x\neq 0)$$
    $$\Leftrightarrow -tan(t)dt=\frac{dx}{x}$$
    par intégration:
    $$\Leftrightarrow ln(|cos(t)|)=ln(|x|)+Cte$$
    $$\Leftrightarrow cos(t)=Cte|x|$$
    $$\Leftrightarrow t=arccos(Cte|x|)$$
    d'où finalement:
    $$y=xarccos(Cte|x|)$$
    merci JJ c'est vos indications qui marchent encore.
    med
  • De rien. C'est la méthode classique lorsqu'on a repéré que l'équation est homogène.
  • Bonjour

    je signale deux autres méthodes..

    1.passage en polaires
    qui conduit pour la 1 ere par ex aux courbes integrales
    r=Ccost (famille de cercles
    2. si P et Q sont homogenes de meme degre en (x,y) on a
    1/(xP+yQ)
    facteur integrant
    ( la forme [P/(xP+yQ)] dx+ [Q/(xP+yQ)dy est femée donc exacte dans un ouvert étoilé )

    Oump.
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