limite d'une série

Salut, je cherche la limite lorsque $n--->\infty$ de :
$$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{k^3}^{3k^4+n^4}}$$
merci

Réponses

  • Bonsoir Med,

    remarque que

    $$
    S_n = \sum_{k=1}^{n}\dfrac{k^3}{3k^2+n^2}=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\left(\dfrac{k}{n}\right)^3}{3\left(\dfrac{k}{n}\right)^4+1}
    $$

    remarque alors que c'est une somme de Riemann qui converge vers l'integrale sur $[0,1]$ de la fonction correspondante $f$ definie par :

    $$
    f(u)=\dfrac{u^3}{1+3u^4}
    $$

    On doit trouver normalement $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n = \dfrac{\ln 4}{12}$

    Bon courage,

    See ya'
    vinh
  • bonjour

    la réponse de vinh me paraît tout à fait correcte

    une remarque: il ne s'agit pas de la limite d'une série (puisque le premier terme contient déjà n) mais de la limite d'une somme algébrique ou tout simplement de la limite d'une suite

    et l'application ici du théorème des sommes de Riemann se justifie pleinement

    bonne journée
  • {\bf Autre méthode} : la fonction $\displaystyle {t \in [1,n] \mapsto \frac {t^3}{3t^4+n^4}}$ est positive et croissante, donc : $$\sum_{k=1}^{n} \frac {k^3}{3k^4 + n^4} = \int_{1}^{n} \frac {t^3}{3t^4+n^4} \, dt + O \left ( \frac {1}{n} \right ) = \frac {1}{12} \left \{ \ln \left ( \ln 4 + \frac {n^4}{n^4+3} \right ) \right \} + O \left ( \frac {1}{n} \right ).$$ Il est alors facile de voir que la limite de cette somme est $\displaystyle { \frac {\ln 2}{6}}$.

    Borde.
  • {\bf Autre méthode} : la fonction $\displaystyle {t \in [1,n] \mapsto \frac {t^3}{3t^4+n^4}}$ est positive et croissante, donc : $$\sum_{k=1}^{n} \frac {k^3}{3k^4 + n^4} = \int_{1}^{n} \frac {t^3}{3t^4+n^4} \, dt + O \left ( \frac {1}{n} \right ) = \frac {1}{12} \left \{ \ln 4 + \ln \left ( \frac {n^4}{n^4+3} \right ) \right \} + O \left ( \frac {1}{n} \right ).$$ Il est alors facile de voir que la limite de cette somme est $\displaystyle { \frac {\ln 2}{6}}$.

    Borde (message corrigé. Doublon à virer. Merci).
  • La méthode de Vinh est claire, celle de Borde me pose encore un problème surtout pour la première inégalité, pour Jean oui tu as raison il s'agit plutôt de la limite d'une suite.

    Merci
  • Je pense qu'il fallait lire positive et décroissante.
  • Petit rappel, peut-être : {\it Comparaison d'une somme à une intégrale}.

    soit $f$ une fonction réelle, monotone et positive sur $[a,b]$ avec $a < b \in \Z$. Alors : $$\sum_{a < n \leqslant b} f(n) = \int_{a}^{b} f(t) \, dt + O \left ( \max (f(a)\, , \, f(b)) \right ).$$

    Borde.
  • $S_k=\frac{k^3}{3k^4+n^4}$ et $S=\sum_{k=1}^{n}S_k$
    soit:
    $$f(x)=\frac{t^3}{3t^4+n^4}$$
    on a:
    $$\sum_{k=2}^{n}S_k\leq\int_{1}^{n} f(t)dt\leq\sum_{k=1}^{n-1}S_k$$
    $$\Leftrightarrow$$
    $$S-S_1\leq\int_{1}^{n} f(t)dt\leq S-S_n$$
    avec $S_1--->0$ et $S_n--->0$ losque $n--->\infty$
    d'où:
    $$S--->\int_{1}^{\infty}f(t)dt=\frac{ln2}{6}$$
    merci borde c'est ton raisonnement un peu détaillé.
  • Je me propose cette fois de calculer:
    $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{a^k}$$
    $$a>1$$
    merci
  • Tu reconnais le développement en série entière de
    <IMG WIDTH="63" HEIGHT="44" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/03/2/81372/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2} $"> <BR>
  • Remplacer $x$ par $a$, c'est le DSE de
    \[ \frac{a}{(1-a)^2} \]

    Sauf erreur.
  • Je n'ai pas encore abordé le développement en séries entières, c'est pourquoi je cherche une méthodes plus élémentaire.
    Merci
  • C'est seulement la limite du développement de Taylor de $\displaystyle{\frac{a}{(1-a)^2}}$. Tu montres facilement que le reste tend vers 0 quand l'ordre du DL tend vers $\infty$.
  • Développement de Taylor au voisinage de 0 bien sûr.
  • $\frac{a}{(1-a)^2}=Cte$ comment donc je peux faire un développement de Taylor?!
    med
  • a est une variable muette (comme x)
  • $\displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac{k}{a^k}}$ est le développement d'ordre $n$ de la fonction qui à $a$ associe $\displaystyle{\frac{a}{(1-a)^2}}$.
  • $\displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac{k}{a^k}}$ est le développement de taylor d'ordre $n$ de la fonction qui à $a$ associe $\displaystyle{\frac{a}{(1-a)^2}}$.
  • Salut Guimauve
    J'ai essayé mais en vain, veuillez me montrer un peu comment ça marche avec le développement?
    med
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