integrales à paramètres

léo2

Bonjour j'ai une fonction et je n'arrive pas à démontrer qu'elle est <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="224" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/22/80677/cv/img1.png&quot; ALT="$ \mathcal{C}^1(]0,+\infty[) ,\ x>0,\ t \in [0,+\infty[$"></SPAN>.
<BR>Voilà la fonction : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="182" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/22/80677/cv/img2.png&quot; ALT="$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xt^2)}{1+t}\, \mathrm dt $"></DIV><P></P>On nous donne une indication : il faut commencer par travailler sur <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="128" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/22/80677/cv/img3.png&quot; ALT="$ [a,\infty[ ,\ \textrm{avec}\ a>0$"></SPAN>.
<BR>
<BR>J'ai essayé de le faire mais je ne voyais pas le problème en laissant sur l'intervalle de départ, enfin voilà je fatigue.
<BR>:-)
<BR>PS<BR>

clotho...0

Salut Leo,

En fait, on te donne cette indication car ta fonction f définie par :

$f(x)=e^{-xt^2}/(1+t)$ est continue en t=0. D'où l'idée de regarder l'intégrabilité de f sur un intervalle de la forme $[a,=\infty]$.

Pourquoi ne regardes tu pas la valeur de l'intégrale définie par :

$\int_{1}{X}\frac{e^{-xt^2}}{1+t}dt$ par encadrement pour $t\in[1,X]$

ça peut donner quelque chose.

A+

klabouny

Bonjour leo,

sur l'intervalle de départ, tu ne peux appliquer le th. de continuité de Lebesgue pour les intégrales à paramètres (essaie de te convaincre qu'il est difficile de vérifier l'hypothèse de domination ! Par quoi majorer la fonction sous l'intégrale ?).

En revanche, sur $[a,+ \infty[$ tu peux borner l'expression sous l'intégrale par $e^{-at^2}$ qui est intégrable sur $\R^+$.

Alain Debreil

Bonjour j'ai une fonction et je n'arrive pas à démontrer qu'elle est $\mathcal{C}^1(]0,+\infty[) ,\ x>0,\ t \in [0,+\infty[$.
Voilà la fonction : $$ F(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{\exp(-xt^2)}{1+t}\, \mathrm dt $$ On nous donne une indication : il faut commencer par travailler sur $[a,\infty[ ,\ \textrm{avec}\ a>0$.

J'ai essayé de le faire mais je ne voyais pas le problème en laissant sur l'intervalle de départ, enfin voilà je fatigue.
:-)
PS

*.*0

Pour démontrer la continuité de F, on peut poser la suite
$(F_n)$ telle que $\displaystyle{F_n=\int_{n}^{\infty}\frac{\exp(-xt^2)}{1+t}dt}$
On montre alors que cette suite de fonctions continues converge uniformément vers F, ce qui assure la continuité de F.

*.*0

pardon poser plutôt $\displaystyle{ F_n=\int_{0}^{n} \frac{\exp(-xt^2)}{1+t}dt}$

klabouny

Bonjour,

Je suppose que *.* veut dire que pour tout $a>0$, $F_n$ converge uniformément vers $F$ sur $[a,+ \infty [$ ?

Prof_

Si c'est avec le programme de prépa, pour montrer que la fonction est C1, il suffit de noter que si f(x,t) est la fonction sous le signe intégrale, on a respectivement pour tout a >0

* f(x,.) continue par morceaux sur [0,+oo(
* f dérivable par rapport à x et df/dx(x,.) continue par morceaux sur [0,+oo(, df/dx(.,t) continue sur [a,+oo(
* |df/dx(x,t)| <= t²exp(-at²)/(1+t) intégrable sur [0,+oo(

ce qui assure la fonction C1 de dérivée l'intégrale sur (0,oo( de df/dx(x,t)

[Corrigé (-at²) selon ton indication. AD]

Prof_

* |df/dx(x,t)| <= t²exp(-at²)/(1+t) intégrable sur [0,+oo( (erreur de frappe)