théorie des nombres

Re bonjour,

Que sait t-on de $\sum_{p \in I} \frac{1}{p}$ où $I$ désigne l' ensemble des nombres permiers tels que $2$ soit un générateur de $(\Z / p\Z)^*$.
Merci

Réponses

  • A ma connaissance, cette question (très difficile...) est toujours ouverte à l'heure actuelle : c'est un cas particulier de la (célèbre) {\it conjecture d'Artin}. En effet, dire que $\overline {2}$ est un générateur de $(\Z / p \Z)^{*}$ équivaut à dire que $2$ est une racine primitive modulo $p$.

    Suivant Artin, notons par $N_2(x)$ le nombre de nombre premiers $p \leqslant x$ pour lesquels $2$ est une racine primitive modulo $p$. {\bf si ERH est vraie} pour les fonctions zeta de Dedekind $\zeta_{\K}$ associées aux corps quadratiques $\Q(2^{1/q})$ (où $q$ parcourt l'ensemble des nombres premiers), alors il existe une constante absolue $C > 0$ telle que : $$N_2(x) = C \frac {x}{\ln x} + O \left ( \frac {x \ln \ln x}{\(ln x)^2} \right ).$$ Ce résultat implique(rait) la divergence de ta série.

    Ce théorème, démontré par Hooley en 1967, se généralise aux nombres $N_a(x)$ de nombres premiers $p \leqslant x$ pour lesquels $a$ est une racine primitive modulo $p$ (avec $a \not = \pm 1$ et $a$ non carré).

    Par contraposée, si la conjecture d'Artin est fausse (bien que corroborée par de nombreux résultats numériques), alors l'hypothèse de Riemann est fausse !

    Borde.
  • A ma connaissance, cette question (très difficile...) est toujours ouverte à l'heure actuelle : c'est un cas particulier de la (célèbre) {\it conjecture d'Artin}. En effet, dire que $\overline {2}$ est un générateur de $(\Z / p \Z)^{*}$ équivaut à dire que $2$ est une racine primitive modulo $p$.

    Suivant Artin, notons par $N_2(x)$ le nombre de nombre premiers $p \leqslant x$ pour lesquels $2$ est une racine primitive modulo $p$. {\bf Si ERH est vraie} pour les fonctions zeta de Dedekind $\zeta_{\K}$ associées aux corps quadratiques $\Q(2^{1/q})$ (où $q$ parcourt l'ensemble des nombres premiers), alors il existe une constante absolue $C > 0$ telle que : $$N_2(x) = C \frac {x}{\ln x} + O \left ( \frac {x \ln \ln x}{(\ln x)^2} \right ).$$ Ce résultat implique(rait) la divergence de ta série.

    Ce théorème, démontré par Hooley en 1967, se généralise aux nombres $N_a(x)$ de nombres premiers $p \leqslant x$ pour lesquels $a$ est une racine primitive modulo $p$ (avec $a \not = \pm 1$ et $a$ non carré).

    Par contraposée, si la conjecture d'Artin est fausse (bien que corroborée par de nombreux résultats numériques), alors l'hypothèse de Riemann étendue est fausse !

    Borde (quelques corrections. Doublon à supprimer. Merci).
  • Bonjour,

    N'y aurait-il pas un résultat qui dirait "si la conjecture d'Artin est fausse alors elle l'est seulement pour quelques exceptions" ?

    Je ne me souviens plus. du tout d'où l'imprécision de ma question......


    lolo
  • Salut Lolo,

    Voici les résultats les plus précis à ce sujet dont je dispose actuellement :

    1. Soit $E$ l'ensemble des entiers non carrés pour lesquelles la conjecture d'Artin est fausse. Alors, pour $x$ suffisamment grand, on a : $$\sum_{n \leqslant x, \, n \in E} 1 = O \left ( (\ln x)^2 \right ).$$ (Heath-Brown, 1986).

    2. Je reprends la notation $N_a(x)$ introduite ci-dessus. Alors on a : $$N_a(x) - c \pi(x) = O \left ( \frac {x}{(\ln x)^D}$$ avec $D > 1$, et ce pour tout entier $1 < a \leqslant y$ et $(\ln x)^8 \leqslant y \leqslant x$, sauf pour $O \left ( x^{1/k} k^2 (\ln x)^{2D + k^2} T^{1-1/k} \right )$ exceptions, où l'on a posé $\displaystyle {k = \left [ \frac {2 \ln x}{\ln y} \right ]}$ et $\displaystyle {T = \max_{1 \leqslant n \leqslant x^2} \tau(n)}$.

    Borde.
  • merci beaucoup Borde<BR>
  • De rien, Pilz. Tu sais que j'ai du mal à résister à un fil intitulé "théorie des nombres" :-)

    Borde.
  • Voici si ça intéresse quelqu'un 2 exercices plus accessibles pour l'amateur :

    1) Montrer que pour $p$ premier avec $p=1$ ou $7$ modulo $8$ alors $2$ ne peut pas être une racine primitive modulo $p$ .

    2) A t on $2^n+3>11$ premier implique que $2$ est une racine primitive modulo $2^n+3$?
  • Pour le 1°, si $p \equiv 1,7 \pmod 8$, alors $\displaystyle {\left ( \frac {2}{p} \right ) = 1}$ (symbole de Legendre), et donc $2$ est un carré modulo $p$. Par suite, l'ordre de $2$ modulo $p$ est $\displaystyle { \leqslant \frac {p-1}{2}}$, et donc $2$ n'est pas une racine primitive modulo $p$.

    Borde.
  • Bien Borde, bien ;-)
  • Merci, Benoît, ça me touche...Si j'ai le temps, je regarderai l'autre, à moins que quelqu'un d'autre ne le trouve :-)

    Borde.
  • Merci beaucoup Borde pour les informations.

    lolo
  • Bonjour, un petit complement.
    Dans le cas ou l'on remplace $\mathbb Z$ par $\mathbb F_q$, la conjecture d'Artin est vraie (Theoreme de Bilharz, 193.; voir Rosen). Elle est basée sur 'hypothese de Riemann pour les courbes (qui est demontrée).
    C'est cette preuve qui a inspiré Hooley.

    Joaopa
  • De rien, Lolo.

    Merci à Joapoa pour cette info. Effectivement, HR pour les courbes elliptiques est vraie, c'est l'oeuvre d'André Weil.

    Borde.
  • Petites précisions:
    1) HR est non seulement demontree pour les courbes elliptiques (theoreme de Hasse), mais pour toute les courbes (Weil), et plus généralement pour toutes variétés algébriques (Deligne)

    HR pour les courbes elliptiques n'est pas suffisant dans la preuve de Bilharz.

    2) Dans mon précédent post, il fallait bien "évidemment" lire $\mathbb F_q[T]$ au lieu de $\mathbb F_q$

    Joaopa
  • Oui, tu as raison de souligner ce fait. Quant aux corps de fonctions, ce n'est pas du tout mon domaine, mais on pourrait peut-être évoquer le parallèle avec le théorème de Mason (démontré) et la conjecture ABC (non démontrée)...

    A +

    Borde.
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