convexe

Bonsoir,

Ma question est simple : un convexe de $\R^n$, ( $n \geq 2$) est -il mesurable pour la tribu de Lebesgue?

Réponses

  • Soit $A$ un convexe de $\R^n$. Alors
    $$A=\bigcup_{((x_i),(y_i))\in A^2} \bigprod_i [x_i,y_i] $$

    les $[x_i,y_i]$ des intervalles de $\R$
  • Soit $A$ un convexe de $\R^n$. Alors \\
    $$A=\bigcup_{((x_i),(y_i))\in A^2} \prod_i [x_i,y_i] $$ \\
    \\
    les $[x_i,y_i]$ des intervalles de $\R$
  • Soit $A$ un convexe de $\R^n$. Alors \\
    $$A=\bigcup_{((x_i),(y_i))\in A^2} \prod_i [x_i,y_i] $$ \\
    \\
    les $[x_i,y_i]$ des intervalles de $\R$
  • La frontière d'un complexe ne serait-elle pas de mesure nulle ? Auquel cas un convexe c'est un ouvert réuni avec un ensemble de mesure nulle, donc un convexe est mesurable.
  • Au delà de toute démonstration rigoureuse, tu as une loi ( plus ou moins empirique, mais personnellement vérifiée :-) ) qui dit que :

    « tout truc qui peut se décrire de façon relativement simple est mesurable »

    après, il s'agit de le démontrer, mais si tu considère un ensemble auquel tu as pensé comme ça, ou que tu peux définir en moins de 10 lignes, il y a une très forte probabilité pour que ça soit un borélien, a fortiori que ce soit Lebesgue mesurable.
  • Pour abdelbaki: je ne vois pas trop ce que cela prouve, une union quelconque de fermés n' est pas mesurable à priori .

    Pour Michal: attention la frontière ne fait pas forcément partie du convexe , par définition $\partial (A)=\bar{A} - \dot{A}$, et en plus il n' est pas trivial que la frontière soit bien de mesure nulle...

    Pour Jobherzt: (moins de dix lignes ok): Je quotiente $\R$ par la relation $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \Q$ et je considère un ensemble formé d' un représentant de chaque classe.
  • Cela dit, un ensemble contenu dans un ensemble de mesure nulle est de mesure nulle.
  • oui vu que la tribu de Lebesgue c'est le complété donc on rajoute tous les ensembles contenus dans des ensembles de mesures nulles
  • oui, Pilz, je sais c'est l'ensemble classique.. c'etait une boutade... mais ca fonctionne assez bien !! l'ensemble dont tu parles est relativement tordu. je voulais simplement dire que ca n'etait pas trivial de sortir un ensemble non-mesurable, et qu'en general on le faisait expres. donc quand on tombe sur un truc qui n'as pas vraiment de raison de ne pas l'etre, la plupart du temps c'est un borelien. ca n'a pas valeur de verite mathematiques, ca date de mes années de licence ou notre prof nous posait des question, du genre est ce que $]\pi/67+\sqrt(2),-4[\cup\{e\}\cup \Q$ est un borelien, sans nous demander vraiment de justifier. donc on en a tire cette regle ( au second degre ) que si ca peut s'ecrire avec une formule quelquonque avec des nombres, des intervalles, des ensembles, des unions, des intersections,... c'etait un borelien.
    disons que ca vient de la difficulte que j'avais ( et que j'ai toujours ) a me representer la tronche d'un non borelien. c'est forcement une espece de monstre un peu bizzare, donc dans la mesure ou un ensemble est relativement simple à imaginer, alors c'est un borelien. un convexe, c'est trop "normal" pour ne pas etre borelien !! tu vois ce que je veux dire ??

    _________________________________________________
    Je viens de m'installer en allemagne, et je patine un peu en algebre. aussi, ne soyez pas surpris si je vous sollicite; ce n'est pas par flemme, mais bien parce que j'aimerais faire mes DM en entier
  • Ah ben non, des convexes pas boréliens ça c'est facile à construire!

    Par contre, pour la mesurabilité, c'est différent; je pense qu'il doit être vrai que tout convexe de $\R^n$ est mesurable pour la mesure de Lebesgue.

    Un résultat classique (et pas trop dur) dit qu'un convexe d'intérieur vide est contenu dans un sous-espace affine de dimension $n-1$; par conséquent, on peut supposer $C$ d'intérieur non vide.
    Après, tout le problème est de montrer que $\partial C$ est Lebesgue-négligeable; je crois que c'est vrai, mais ne vois pas immédiatement comment le montrer (en utilisant le fait que le convexe est régulier, i.e égal à l'adhérence de son intérieur, et après?)
    En conclusion, tout le problème est de montrer que la frontière d'un convexe est toujours Lebesgue-négligéable...
  • jobherzt , l'exemple de ton prof de license est l'ensemble vide... donc un borélien!

    @+
  • "Ah ben non, des convexes pas boréliens ça c'est facile à construire! "
    J'aimerai bien un exemple.
  • Merci d'oublier mon dernier post....

    @+
  • Pour corentin: prends n'importe quel ensemble non borélien de la sphère unité de $\R^2$, par exemple, puis considère sa réunion avec le disque unité ouvert. Ca te donne un convexe non borélien; mais sa frontière est bien Lebesgue-négligeable, et il est Lebesgue-mesurable.
  • Oula oui, chuis fatigué moi.
    Le problème est donc bien sur la frontière.
    Il me semble qu'il y a un théorème qui dit que n'importe quel convexe fermé borné est homéomorphe à la boule unité d'un $\R^n$. (ta propriété sur le convexe contenu dans un espace de dimension plus petite est un lemme pour ça je crois)
    Ca pourrait peut être servir, le problème c'est qu'un homéomorphisme est pas franchement réputé pour conserver les mesures.
  • Lionel, il me semble que MP a répondu à cette question vendredi matin, vu que la frontière d'un convexe de R^n peut se décrire localement comme le graphe d'une fonction lipschitzienne, je crois.
  • moi ça me fait reposer une question en calcul integral : pourriez vous m'aider à calculer cette integrale en fonction de $a$ , $b$ et $c$?
    Merci.

    $$\int\int_D \delta(ax+by-c)dxdy$$

    $D$ est un domaine bornée de R².
  • moi ça me fait reposer une question en calcul integral : pourriez vous m'aider à calculer cette integrale en fonction de $a$ , $b$ et $c$?
    Merci.

    $ \int\int_D \delta(ax+by-c)dxdy $

    $D$ est un domaine bornée de R².
  • topoloser, je te jure que c'est pour rire !! je vais essayer de reformuler ca autrement : la plupart des ensembles non mesurables qu'on exhibe n'ont pas tellement d'autre interet.... que celui de ne pas etre mesurable. mon idee est de dire qu'a chaque fois que vous vous trouvez devant un ensemble, meme tordu, qui a une certaine utilite pour vous, et que vous n'etes pas devant un exo dont la question est "determinez si cet ensemble est mesurable", a priori pas besoin de se casser la tete.
    c'est un peu comme de demander "quel est la probabilite de croiser un calmar geant?" a priori, elle est tres faible, .....sauf si vous etes 5 bornes sous la flotte justement en train d'en chercher un !! :-) j'aurais tendance a dire que c'est plutot pareil pour les ensembles non borelien, a fortiori pour ceux non mesurable.
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