Intégrale/Série

Bonjour,

Je cherche un équivalent à l'infini de

an=(1/n!) intégrale de 0 à 1 de [ln(1-t) (-lnt)^(n+1)]/t dt.

J'ai développé en série ln(1-t), inversé l'intégrale et le sigma, intégré n+1 fois par parties. Je tombe sur : [fonction dzéta en n+3]*(n+1), et j'en déduis que an est équivalent à n+1.

Est-ce exact ?

Merci d'avance pour vos remarques.

Réponses

  • $ a_n = - \frac{1}{n ! } \int_{0}^{1} \sum_{p=1}^{ \infty} t^{p-1}(-ln(t))^n dt$
    $= - \frac{1}{ n! } \sum_{p=1}^{ \infty } u_{p-1,n}$ (justification de l'inversion à posteriori)
    avec
    $ u_{p,n} = \int_{0}^{1} t^p (-ln(t))^n dt = \frac{n}{p+1} u_{p,n-1} = ... = \frac{n!}{ (p+1 )^{n+1} }$ (IPP + récurrence)
    donc
    $ a_n = - \sum_{p=1}^{ \infty } \frac{1}{ p^{n+2} } = - \zeta(n+2) $

    donc pour ma part, je trouve $a_n \sim -1 $

    bon, après, moi et les calculs ... :)



    PS : champagne si latex me prend ça du premier coup !!
  • et zut j'ai oublié le $\frac{1}{p}$ en développant le ln
    le résultat tient (la dernière me semble juste), je ne l'avais pas oublié sur ma feuille
    ... bon ben pas champagne :)
  • Merci de ta réponse,

    je suis d'accord avec toi, mais je pars d'une expression avec lnt puissance n+1. Il me semble que tu prends lnt puissance n.

    Ca change le résultat non ?
  • ah oui pardon j'avais mal lu (bon ben faut que j'arrete le champagne !!! :) )
    je trouve donc bien la même chose que toi, mais avec un signe - (-ln est positif, ln(1-t) est négatif) donc finalement on a bien $a_n \sim - n $
  • OK,

    je suis d'accord avec toi. Moi aussi je me suis planté c'est pas (-lnt)^(n+1) c'est (-lnt)^n lnt...

    Donc on rerombe sur un signe +.

    Il s'agit du sujet centrale supélec MP 1 2004.

    Merci beaucoup.
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