Deux intégrales

dans Les-mathématiques
Je reprends un problème posé par ailleurs :
Soit f la fonction définie pour tout nombre complexe z tel que
Re(z)<1 par :
intégrale de 0 à 1 de (ln(t) ln(1-t))/(t^(z+1))
Combien vaut l'intégrale sur la droite réelle du module de [f(iy)] dy?
Combien vaut l'intégrale sur la droite réelle du carré du module de [f(iy)] dy ?
Merci beaucoup pour vos idées.
Soit f la fonction définie pour tout nombre complexe z tel que
Re(z)<1 par :
intégrale de 0 à 1 de (ln(t) ln(1-t))/(t^(z+1))
Combien vaut l'intégrale sur la droite réelle du module de [f(iy)] dy?
Combien vaut l'intégrale sur la droite réelle du carré du module de [f(iy)] dy ?
Merci beaucoup pour vos idées.
Réponses
-
Lire :
Soit f la fonction définie pour tout nombre complexe z tel que
Re(z)<1 par :
intégrale de 0 à 1 de (ln(t) ln(1-t))/(t^(z+1)) dt
Combien vaut l'intégrale de - infini à + infini du module de [f(iy)] dy?
Combien vaut l'intégrale de - infini à + infini du carré du module de [f(iy)] dy ?
Merci beaucoup pour vos idées. -
Bonjour,
ce post ne répond pas à la question, mais vise seulement à la clarifier.
La page jointe montre ce que je crois avoir compris.
Est-ce bien cela que vous voulez ?
Si oui, je vous dis tout de suite: bon courage, moi je passe la main ! -
Oui c'est bien le problème que je pose.
Vous même JJ et M. Jean Lismonde avez montré que
f(z)=somme de n=1 à l'infini de 1/(n(n-z)²)
Peut-être faut-il passer par là ? -
Malheureusement, vous rencontrerez le même obstacle avec l' intégration de somme de série au carré (page jointe)
-
Merci,
je pense que la première intégrale (que j'ai cru pourvoir proposer) est (quasi) infaisaible.
mais la deuxième a été donnée, avec indications, dans un problème de concours. -
bonjour
je reprends les résultats obtenus par JJ avec le module au carré de f(iy) et donc la dernière intégrale en y
on peut effectuer le changement de variable y=k.sht et donc dy=k.cht.dt
k est positif et donc les bornes d'intégration en t sont les mêmes que pour y
l'intégrale proposée par JJ se simplifie considérablement puisqu'elle devient:
2Z²(5/2) fois l'intégrale sur R+ de dt/(cht)^3
Z(5/2) étant la valeur de Zéta de Riemann pour la valeur 5/2 de la variable
et l'intégrale en 1/(cht)^3 existe bien-sûr
mais j'ai un doute sérieux sur la légitimité de cette méthode qui consiste à introduire le k du changement de variable d'intégration dans les sommations au carré
Serge2 pourra nous dire si les indications données au concours allaient dans ce sens là
cordialement -
Bonjour,
ce n'est peut-être pas aussi désespéré qu'il le semble à première vue.
En effet les intégrales portant sur des sommes au carré peuvent être mises sous la forme de sommes doubles par un processus passablement ardu.
Par exemple, la formule jointe montre ce que cela donne pour l'une des intégrales qui figurait dans mon message précédent.
je ne l'ai pas fait pour les autres, bien que cela semble possible de la même manière. En effet, c'est un travail très lourd. Le jeu en vaut-il la chandelle ?
J'en doute : Lorsque l'on arrive à une voie aussi pointue, il est probable qu'une méthode plus simple n'a pas été vue dans une étape précédente, c'est à dire avant d'arriver aux intégrales présentées par Serge2. Il faudrait peut-être reprendre le problème plus en amont. -
Pour Jean Lismonde
je doute que la méthode marche avec le changement de variable proposé.
En effet, k est variable. On n'a donc pas la même fonction y=k.sh(t) pour tous les termes de la série figurant sous le signe somme de l'intégrale. On ne peut pas, dans une intégrale faire simultanément plusieurs changements de variables avec des fonctions différentes, même si les bornes sont les mêmes (sauf s'il s'agit de termes linéairement indépendants sous le signe somme commun, au quel cas ce serait bon). Dans le cas présent d'une série au carré, cela me semble exclus de procéder ainsi.
(sauf erreur de raisonnement de ma part)
Cordialement,
JJ. -
Bonjour,
Le concours demandait en effet de calculer la deuxième intégrale sous la forme :
S(a,b)=somme sur k,h de kh^(-a)(k+h)^(-b) .
Je suis très impressionné.
La méthode est-elle abordable pour un niveau modeste ?
Merci. -
Une explication toute simple : Pourquoi le changement de variable y=k.sh(t) ne peut-il pas marcher ?
Pas de problème pour remplacer y par k.sh(t) dans les termes du sigma. Mais lorsqu'on en est à remplacer dy par k.ch(t).dt, on est en dehors du sigma. Ensuite, on ne peut pas faire entrer k dans le sigma (sauf si la somme n'était pas au carré). Ce n'est donc pas possible.
Par contre, la méthode de développement en série que j'ai utilisée pour obtenir le double sigma est sans ambiguité et son seul défaut est la lourdeur. -
Une petite remarque,
la série qui est élevée au carré s'exprime avec des fonctions élémentaires...
mais le plus judicieux est de troquer la série simple des carrés
par une série double de termes rectangles et intégrer...
Challenger -
Réponse à Serge2:
Tout dépend de ce que l'on entend par "niveau modeste"
Certes, ce n'est pas de la haute volée, il n'y a pas de fonction spéciale ou autre magnificence. C'est du calcul bourin. Mais tellement bourin que je doute que cela puisse être mené a bien dans un temps raisonnable par un pauvre malheureux de "modeste niveau".
Si je ne l'ai pas mis sur le forum, c'est parce que ce serait trop volumineux.
Néanmoins, avec l'indication donnée de la forme de ce qui doit être trouvé, on n'est plus du tout dans la même situation. -
Je viens de voir l'intervention de Challenger.
C'est en effet cette méthode qui m'a servi de point de départ. Toute la difficulté réside dans la manipulation des formules et leurs simplifications.
Mais je m'y suis peut-être mal pris, ce qui m'a fait passer par des expressions plutôt pénibles. -
Quand on a fait l'une des intégrales, l'autre vient plus facilement.
Au total, on trouve la formule suivante (cas du carré du module) :
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 62 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 23 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 84 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 342 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres