Série

Bonjour à tous,

Mes compétences en séries étant limitées, je me demande s'il est possible d'exprimer sous la forme d'une fonction de $x$ (spéciale ou pas) la série

$$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{x^2+k^2}$$
où $x\in \R$.

D'avance merci.

Amicalement,

Réponses

  • En décomposant la fraction $1/(x^2+k^2)$ on peut exprimer cette fonction avec la fonction Psi.

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=240958&t=237844#reply_240958
  • En décomposant la fraction $1/(x^2+k^2)$ on peut exprimer cette fonction avec la fonction Psi.
  • En décomposant la fraction $1/(x^2+k^2)$ on peut exprimer cette fonction avec la fonction Psi.

    \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=240958&t=237844#reply_240958}
  • Autre méthode, pour $x \not = 0$. Notons $$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {(-1)^{k+1}}{k^2+x^2}$$ et $T = \sum_{k=- \infty}^{\infty} \frac {(-1)^k}{k^2+x^2}.$$ A l'aide du théorème des résidus, il vient : $$T = - Rés \left ( \frac {\pi}{\sin(\pi s)(s^2+x^2)},ix \right ) - Rés \left ( \frac {\pi}{\sin(\pi s)(s^2+x^2)},ix \right ) = \frac {\pi}{x \sinh(\pi x)}.$$ Comme $$T = -2S + \frac {1}{x^2},$$ on trouve finalement : $$S = \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{x^2} - \frac {\pi}{x \sinh(\pi x)} \right ).$$

    Borde.
  • Autre méthode, pour $x \not = 0$. Notons $$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {(-1)^{k+1}}{k^2+x^2}$$ et $$T = \sum_{k=- \infty}^{\infty} \frac {(-1)^k}{k^2+x^2}.$$ A l'aide du théorème des résidus, il vient : $$T = - Rés \left ( \frac {\pi}{\sin(\pi s)(s^2+x^2)},ix \right ) - Rés \left ( \frac {\pi}{\sin(\pi s)(s^2+x^2)},-ix \right ) = \frac {\pi}{x \sinh(\pi x)}.$$ Comme $$T = -2S + \frac {1}{x^2},$$ on trouve finalement : $$S = \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{x^2} - \frac {\pi}{x \sinh(\pi x)} \right ).$$

    Borde.
  • Encore une fois Borde montre son potentiel....
  • Merci, Marco++, mais ce n'est que du cours, rien de plus. Je voulais, comme on l'avait déjà fait une fois ou deux avec JJ, (re)mettre au goût du jour ces applications des résidus, auxquelles on ne pense pas toujours de prime abord (ce qui est, il faut bien le dire, assez naturel).

    Et puis, si Longjing lit ce fil, il se souviendra certainement d'une discussion que nous avons eu il n'y a pas longtemps, entre lui, son stagiaire et moi :-)

    Borde.
  • soit encore :

    T = Gamma(ix) . Gamma(-ix)

    mais comment passe-t-on du produit eulerien a la serie T ?

    fjaclot;
  • Bonjour

    Je confirme le résultat obtenu par Borde mais j'y parviens autrement par les produits eulériens et je réponds par là-même à la question de fjaclot

    On part des produits eulériens :
    sh(pi.x)/(pi.x) = (1+x²)(1+x²/2²)(1+x²/3²) ... (1+x²/n²) ...
    ch(pi.x/2)=(1+x²)(1+x²/3²)(1+x²/5²) ... (1+x²/(2n-1)²) ...
    Il suffit de prendre les dérivées logarithmiques, et de faire la différence des développements en séries rationnelles pour obtenir la série rationnelle demandée

    Cordialement
  • Merci Jean, Borde et B....t

    fjaclot;
  • Bonjour à tous,

    J'avais commencé comme B....t le suggère, et en allant jusqu'au bout je suis tombé sur le résultat de Borde.

    Une petite question supplémentaire : je connais la méthode des résidus pour les intégrales. Est-ce le même esprit pour les séries ?

    Merci beaucoup !
    Amicalement,
  • Salut Kuja,

    Les résidus (ou, plus exactement, les formules / théorèmes de Cauchy) ont un certain nombre d'applications. Parmi celles-ci, le calcul de certaines séries en fait partie.

    Pour reprendre ton exemple, on a le corollaire suivant du calcul des résidus. Soit $f$ méromorphe sur $\C$ ayant un nombre fini de pôles $a_1,...,a_n \in C - \Z$ tels qu'il existe $R > \sup \{ |a_1|,...,|a_n| \}$ et un réel $\alpha > 1$ tels que, pour tout complexe $s$ tel que $|s| < R$, on ait $|f(s)| = O \left ( |s|^{- \alpha} \right )$. Alors on a : $$\sum_{k \in \Z} (-1)^k f(k) = - \sum_{j=1}^{n} Rés \left \{ \frac {\pi f(s)}{\sin( \pi s)} \, , \, a_j \right \}.$$

    Idem pour la série $\displaystyle {\sum_{k \in \Z} f(k)}$, mais tu remplaces la fonction $\displaystyle {\frac {1}{\sin(\pi s)}}$ par $\cot(\pi s)$.

    {\bf Référence} : {\it La calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, par Ernst Lindelöf, Chelsea Publishing Cie (1947).

    A la différence de certains de mes collègues, j'avoue avoir un petit faible pour ces formules...

    Borde.
  • Merci Borde, je ne connaissais pas du tout ce résultat.
    Je mets tout de suite ce message dans mes favoris !

    Amicalement,
  • Oui, et, en plus, comme à chaque fois lorsque les résidus donnent un résultat explicite, on {\it voit} très bien ce qui intervient réellement dans ces séries...Avantage : on comprend très vite ce qui est prépondérant dans la somme. Inconvénient : mises à part les hypothèses assez "serrées" sur la fonction $f$, il faut se taper un calcul de résidus pas toujours facile.

    Plus généralement, il est clair que 10 années de pratique de théorie des nombres m'ont obligé à "maîtriser" un certain nombre de techniques fondamentales de calculs/estimations de sommes !

    Borde.
  • Pour compléter l'excellente intervention de Borde (pléonasme) une autre référence en français qui ne rentre pas dans le détail de la théorie de l'analyse complexe mais donne ce genre d'applications (chapitre quatre : applications au calcul de certaines séries) :

    "Fonctions d'une variable complexe" par Roger Rivet chez Diderot éditions
  • C'est marrant, j'ai calculé cette somme hier au tableau de ma classe, quelques minutes avant que mes élèves n'arrivent ! :)
    Je m'étais amusé à calculer la série de Fourier de la fonction paire 2pi-périodique définie par t->ch(xt) sur [0,pi]. (ce qui se fait très rapidement)
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