fonction phi d' Euler

Bonjour,

Je me demandais si $\sum \frac{1}{\phi(n)^2}< +\infty$,

et en général que sait -on de $inf \{\alpha>0, \sum \frac{1}{\phi(n)^{\alpha}}

Réponses

  • Souvenirs lointains... Si on note :
    $M(x)=\sum_{n\leqslant x}\varphi(n)$, on a :
    $$M(x)=\frac{3}{\pi^2}x^2+O(x\log x)$$
    Alors $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{\varphi(n)^2}=\int_{1}^N \frac{1}{x^2} dM$$
    Par intégration par parties dans l'intégrale de Stieltjes :
    $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{\varphi(n)^2}=\left[ M(x)\frac{1}{x^2}\right]_1^N-\int_{1}^{N}M(x)d\left(\frac{1}{x^2}\right)=\left[ M(x)\frac{1}{x^2}\right]_1^N+2\int_{1}^{N}M(x)\frac{dx}{x^3}$$
    Le terme tout intégré a l'air de converger, alors que l'intégrale diverge. A confirmer...
  • La somme ne convergerait-elle pas pour tout $\alpha >1 $ ? En effet, je suis a peu pres convaincu qu'on a $\phi (x)$ plus grand que $x^{\theta }$ pour x assez grand avec $\theta < 1$ fixe. Non ?
  • Sans nécessairement faire une sommation partielle, on peut utiliser $\displaystyle {\varphi(n) \gg \frac {n}{\ln \ln n}},$$ ou même, encore plus simple, $\varphi(n) >n^{2/3}$ valable pour $n \geqslant 31$.

    Borde.
  • Sans nécessairement faire une sommation partielle, on peut utiliser $\displaystyle {\varphi(n) \gg \frac {n}{\ln \ln n}},$ ou même, encore plus simple, $\varphi(n) >n^{2/3}$ valable pour $n \geqslant 31$.

    Borde.
  • pour avoir tester numérique je ne suis vraiment pas sûr de ça...
  • ok j' ai rien dit merci beaucoup,
  • ...En fait, la série $\displaystyle {\sum_{n \geqslant 1} \frac {1}{\varphi(n)}}$ se comporte essentiellement comme la série harmonique, en vertu des inégalités $n^{1 - \varepsilon} \leqslant \varphi(n) \leqslant n$ valables pour $n \geqslant n_0(\varepsilon)$.

    Notons aussi le résultat suivant : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {1}{\varphi(n)} = \frac {\zeta (2) \zeta (3)}{\zeta (6)} \ln x + \gamma \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu^2(n)}{n \varphi(n)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu^2(n) \ln n}{n \varphi(n)} + O \left ( \frac {(\ln x)^{2/3)}{x} \right ).$$

    Borde.
  • ...En fait, la série $\displaystyle {\sum_{n \geqslant 1} \frac {1}{\varphi(n)}}$ se comporte essentiellement comme la série harmonique, en vertu des inégalités $n^{1 - \varepsilon} \leqslant \varphi(n) \leqslant n$ valables pour $n \geqslant n_0(\varepsilon)$.

    Notons aussi le résultat suivant : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {1}{\varphi(n)} = \frac {\zeta (2) \zeta (3)}{\zeta (6)} \ln x + \gamma \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu^2(n)}{n \varphi(n)} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\mu^2(n) \ln n}{n \varphi(n)} + O \left ( \frac {(\ln x)^{2/3}}{x} \right ).$$

    Borde.
  • Quelqu'un peut me dire où je me suis planté dans mon intégrale de Stieltjes. J'imagine que c'est dès le départ...
  • Michal,

    Je ne reprends pas ta notation $M(x)$ pour la fonction sommatoire de $\varphi$ car la lettre $M$, traditionnellement, est réservée à la {\it fonction de Mertens}, c'est-à-dire la fonction sommatoire de la fonction $\mu$ de Möbius. Soit donc $$Phi(x) = \sum_{n \leqslant x} \varphi(n).$$

    La faute est d'écrire : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {1}{\varphi^2 (n)} = \int_{1}^{x} \frac {1}{t^2} d \left ( \Phi(t) \right ).$$ En effet, ton intégrale vaut en fait : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\varphi(n)}{n^2}.$$

    En général, il y a deux stratégies possibles (assez proches, finalement) pour estimer des sommes de fonctions multiplicatives, comme c'est le cas ici :

    1. Calculer la série de Dirichlet de la fonction multiplicative en jeu, avec son abscisse de convergence et/ou son abscisse de convergence absolue, puis en extraire la somme partielle souhaitée à l'aide d'outils issus de l'analyse complexe (formule de Perron).

    2. Etablir des relations de convolution (au sens du produit de convolution de Dirichlet) entre la fonction multiplicative cherchée et d'autres plus connues, et utiliser des procédés sommatoires efficaces pour arriver à ses fins (interversion des sommations, principe de l'hyperbole de Dirichlet).

    Borde.
  • Michal,

    Je ne reprends pas ta notation $M(x)$ pour la fonction sommatoire de $\varphi$ car la lettre $M$, traditionnellement, est réservée à la {\it fonction de Mertens}, c'est-à-dire la fonction sommatoire de la fonction $\mu$ de Möbius. Soit donc $$\Phi(x) = \sum_{n \leqslant x} \varphi(n).$$

    La faute est d'écrire : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {1}{\varphi^2 (n)} = \int_{1}^{x} \frac {1}{t^2} d \left ( \Phi(t) \right ).$$ En effet, ton intégrale vaut en fait : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {\varphi(n)}{n^2}.$$

    En général, il y a deux stratégies possibles (assez proches, finalement) pour estimer des sommes de fonctions multiplicatives, comme c'est le cas ici :

    1. Calculer la série de Dirichlet de la fonction multiplicative en jeu, avec son abscisse de convergence et/ou son abscisse de convergence absolue, puis en extraire la somme partielle souhaitée à l'aide d'outils issus de l'analyse complexe (formule de Perron ou théorèmes taubériens).

    2. Etablir des relations de convolution (au sens du produit de convolution de Dirichlet) entre la fonction multiplicative cherchée et d'autres plus connues, et utiliser des procédés sommatoires efficaces pour arriver à ses fins (interversion des sommations, principe de l'hyperbole de Dirichlet).

    Borde (doublon, car corrections latex).
  • Je viens de voir tout ça , merci beaucoup,
    <BR>
    <BR>en fait j' avais du mal à croire à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="118" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/4/78644/cv/img1.png&quot; ALT="$ n^{1-\epsilon} <\phi(n)<n$"></SPAN> pour n grand, car j' avais essayé avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="59" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/4/78644/cv/img2.png&quot; ALT="$ \epsilon =0.01$"></SPAN>, et jusqu'à <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="34" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/02/4/78644/cv/img3.png&quot; ALT="$ 10^35$"></SPAN> cela ne marchait toujours oas..<BR>
  • Merci pour la correction. C'est un peu loin l'intégrale de Stieltjes...
  • Pour tous les deux : de rien !

    Michal,

    Un truc qui peut être utile. Avec les hypothèses qui vont bien, tu as pour $1< a < b \in \R$ : $$\sum_{a < n \leqslant b} f(n)g(n) = \int_{a}^{b} f(t) d \left ( \sum_{a < n \leqslant t} g(n) \right )$$ (j'insiste sur le fait que les bornes de sommation sont {\bf réelles}).

    Maintenant, le procédé de sommation partielle n'est que l'IPP dans le formalisme de l'intégrale de Stieltjes : ainsi, on n'a plus besoin d'utiliser celle-ci, il suffit d'appliquer directement une sommation partielle, tout comme on ferait une IPP pour les intégrales normales.

    Borde.
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