matrice ( dur)

Je considère l' application $\phi_p(A)=A^p$ qui va de $M(n,\C)$ dans $M(n,\C)$.
Comment caractériser $\phi_p(M(n,\C))$?
Déjà c'est évident que cela contient les matrices inversibles ( car $exp(M(n,\C))=GL(n,\C)$)... D' autre part le fait d' être une puissance $p$-ième ne dépend pas du choix du représentant dans la classe de conjugaison...
Mais je n' arrive pas à en dire plus , comment caractériser ses ensembles?

Réponses

  • Puisque vous êtes à coeficients complexes, cet ensemble contient toutes les matrices diagonales, et donc les matrices diagonalisables aussi, or l'ensemble des ces matrices est dense dans $\mathrm{M}_n(\mathbb{C})$...
  • je ne vois pas ce que P.Fradin veut dire ?
    sinon je pense qu'on pourrait faire un peu avancer le pb en regardant les reduites de Jordan. Question: si on prend un bloc de Jordan de taille $n$, de la forme $aI+J$, à quelles conditions est-ce une puissance $p$-ieme. Si $a \neq 0$, c'est OK : il suffit de prendre le developpement limité de $(1+x)^{\frac{1}{p}}$. Ensuite que se passe t il si $a=0$. Etc .. Mais tout cela ne donnera que des conditions suffisantes ..
  • Le raisonnement par densité ne convient pas ici bien sur, certaines matrices nilpotentes ne peuvent trivialement par être des puissances n-ième...
    j' ai essayé comme tu dis,Alekk mais je ne parviens mais je ne trouve pas de caractérisation satisfaisante...
  • On ne peut pas conclure par un simple argument de densite car l'application $\phi_p$ n'a aucune raison d'etre propre, c'est-a-dire en particulier que son image n'a aucune raison d'etre ferm\'ee. Donc ce n'est pas $M_{n} (\mathbf{C})$ a priori.

    Et a mon avis c'est faux...
  • Il serait peut être bien (et plutôt facile) de trouver un maximum de matrices nilpotentes qui ne sont "trivialement" pas des puissances pèmes, vu que c'est de ce côté que ça coince.
    Déja, dès que l'ordre de nilpotence est supérieur à $[\frac{n}{2}]+1$ on peut les rayer, non?
  • Lss trois points de suspension de mon message ne signifient pas que la réponse en M(n,C)! Cela prouve que l'image est dense dans M(n,C), mais surement pas fermée (comme cela a été signalé avec les matrices nilpotentes).
  • une exponentielle est une puissance p-eme. or toute matrice inversible complexe est une exponentielle!
  • Par la reduction en sous-espace caractéristique, ceux ou la vp associée et non nulle, on peut les mettre sous forme d'un puissance $p$-ieme.
    Il ne reste que le cas de la valeur propre $0$.
    Finalement, $A$ est une puissance $p$-ieme si et seulement si "sa partie" nilpotente l'est.

    On s'est alors completement ramene au cas des matrices nilpotentes.

    Avec la reduction de Jordan, on doit pouvoir trouver les matrices nilpotentes qui sont des puissances $p$-ieme



    Vincent
  • Corentin a parle d'indice de nilpotence, c'est a mon avis la cle. On decompose en sous-espaces caracteristiques, et on regarde la partie formee par les blocs de nilpotence.

    Si $A^p = M$, $M$ et $A$ commutent donc sont trigonalisables dans une meme base, et de plus $A$ est nilpotent. Apres redution $A^p$ est une matrice triangulaire superieure nulle sur les $p$ premieres colonnes, il en va donc de meme pour $M$. Donc l'indice de nilpotence de $M$ est $< n-p$, ce qui revient a dire que son polynome minimal $P(X)$ a une valuation en $X$ $< n-p$.

    En conclusion l'image de $\phi_p$ est constitue du sous-ensemble des matrices telles que le polynome minimal ait une valuation en $X$ $< n-p$.

    Pour information l'image de l'application $\phi_p$, qui est algebrique, est une partie {\bf{constructible}} de $M_{n}(\mathbf{C})$, c'est-a-dire que ce n'est pas un ferme algebrique mais une union finie disjointe de parties localement fermees (i.e intersections de fermes algebriques avec des ouverts). C'est le theoreme de Chevalley.
    Il serait interessant de verifier ce theoreme sur ce cas concret.
  • Je rentre chez moi ce week end, et j'ai un vieux poly de spé sur la résolution de $M^2=A$. Si il y a des choses intéressantes j'essaierai d'en parler.
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