théorie des nombres

Pilz0

Bonjour,

Dans le cadre d' un développement pour l' agrég, je pense présenter le théorème d'Ostrowski qui dit que toutes les valeurs absolues sur $\Q$ sont p- adiques ou de la forme $|.|^{\alpha}$. Je pense alors parler du complété de $\Q$ pour ces métriques c'est à dire le corps p-adique $\Q_p$.
Pour pouvoir répondre à l' inévitable question : à quoi cela sert ?, j' aimerai connaitre l' utilité des corps $\Q_p$. Je sais qu' ils jouent un rôle centrale en théorie des nombres mais je n' ai pas d' exemples précis...

LLolo

Bonjour,

Je vous conseille pour celà l'excellent ouvrage de Fernando Q.Gouvêa : "p-adic Numbers" - Ed Springer.

Richard André-Jeannin1

S'il fallait un livre pour chaque leçon préparée..

CQFD

voire même un livre pour chaque développement...

borde

On a déjà évoqué des applications possibles de ces nombres. En vrac, nous avons :

1. Principe de Hasse.
2. Démonstrations de certains théorèmes "globaux" par localisation (Kronecker-Weber, par exemple).
3. Complétions des corps de nombres.

Borde.

Vincent

Salut Pilz,

Pour illustrer le principe de Hasse, tu peux regarder dans le "Cours d'arithmétiques de Serre" : tu te sers de la classification des formes quadratiques sur $\Q_p$ pour obtenir celle sur $\Q$. Du coup tu peux aussi en reparler dans la lecon forme quadratique...

Vincent

Rachid9

Bonsoir :

Je trouve aussi le document de M. Diara intérressant :
<http://math.univ-bpclermont.fr/~diarra/coursDEA.pdf&gt;

Bonne chance.