corps non commutatif

Bonjour

Avec des copains on se demandait s' il existait un corps non commutatif dénombrable: on a vu que les quaternions sur $\Q$ faisait l' affaire.

Cependant on a imaginé après les quaternions sur $F_p$ ,c'est un ensemble fini donc d' après Wedderburn soit ce n'est pas un corps, soit c'est commutatif? où est la vérité?

Réponses

  • Bonjour,

    Faites confiance à Wedderburn... Un tel truc contient forcément des diviseurs de $0$.
    Par exemple, pour $p=5$, $(2+i)(2-i) = 0$.

    VK

  • Cet exemple n'est cependant pas valable pour tout $p$ premier car $-1$ n'est en g\'en\'eral pas un carre dans $\mathbf{F}_p$, o\`u de facon equivalente $0$ n'est pas somme de 2 carr\'es non nuls. Pour trouver un exemple de diviseur de 0 qui marche toujours, on est "oblige" d'utiliser $i,j$ et $k$.

    $(a + b i + c j + d k) (a - b i - c j - d k) = 0$ dans votre anneau non commutatif equivaut \`a $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 0$ dans $\mathbf{F}_p$. Or c'est possible a r\'ealiser quelque soit $p$.
  • Il me semble d'ailleurs que $\mathbf{F}_p$, le sous-corps premier de votre anneau, est aussi le seul corps qui y vit.
  • Merci je suis convaincu,
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