une intégrale

svp j'ai besoin de savoir que vaut cette integrale et surtout comment on l'integre




$$\int_{-\infty}^{+\infty} \ x^2\exp(-x^2)dx$$

Réponses

  • On la calcule en intégrant par parties et en se servant du fait que (intégrale de Gauss) $$\int_{-\infty}^{+\infty} exp(-x^2)dx = \sqrt{\pi}$$

    On trouve alors $\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2} }$.
  • Utiliser la parité de la fonction, vérifier la convergence de l'intégrale, puis IPP. Enfin, se rappeler que $\displaystyle {\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac {\sqrt { \pi}}{2}}$.

    Borde.
  • Bonjour,
    <BR>
    <BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="236" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/17/76915/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=
    \newline \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx$"></DIV><P></P>
    <BR>(On a fait une intégration par parties, en posant : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="348" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/17/76915/cv/img2.png&quot; ALT="$ u(x)=x,v'(x)=xe^{-x^{2}},u'(x)=1,v(x)=
    \newline \frac{-1}{2}e^{-x^{2}}$"></SPAN>)
    <BR>Or, d'après un résultat classique : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="138" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/17/76915/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=
    \newline \sqrt{\pi}$"></DIV><P></P>donc :
    <BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="158" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/01/17/76915/cv/img4.png&quot; ALT="$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx
    \newline =\frac{\sqrt{\pi}}{2}$"></DIV><P></P>
    <BR>
    <BR>Amicalement.
    <BR>Olivier.<BR>

    [Message d'Olivier Guin déplacé. Bruno]
  • Autre methode : Ramener a 0 a l'infini, faire y= x^2 et reconnaitre

    Gamma(3/2) soit rac(Pi)/2.

    fjaclot;
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