une integrale

clark0

svp j'ai besoin de savoir que vaut cette integrale et surtout comment on l'integre


$$\int_{-\infty}^{+\infty} \ x^2\exp(-x^2)dx$$

Olivier Guin

Bonjour,

$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=
\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx$$
(On a fait une intégration par parties, en posant : $u(x)=x,v'(x)=xe^{-x^{2}},u'(x)=1,v(x)=
\frac{-1}{2}e^{-x^{2}}$)
Or, d'après un résultat classique : $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=
\sqrt{\pi}$$ donc :
$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx
=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

Amicalement.
Olivier.