Isomorphisme

Smallux

Bonjour

Je cherche à construire une application linéaire $\phi : E \longrightarrow E$ où E est un ev

telle que $\phi$ soit bijective et qu' il existe un sev $W$ de $E$ telle
$W$ soit stable par $\phi$ mais que la restiction de $phi$ à $W$ ne soit pas bijective

alors si quelqu' un avait un petit conseil a me donner

merci ...

francois

Probaloser

Ben n'importe quel exemple va marcher (dès que tu peux choisir $W$ distinct de $E$)...

coincoin3

Vu comment le problème est posé Probaloser a raison car
tu perds alors la surjectivité

Smallux

J' avais mal formulé il faut lire : telle que $\phi :W\longrightarrow W$ ne soit pas bijective ce qui change tout

Probaloser

L'image de $W$ n'a aucune raison d'être incluse dans $W$. Si jamais c'est le cas, alors "en restreignant des deux côtés $W$", on obtient une application linéaire injective entre deux espaces de même dimension, elle est donc bijective.

Airy0

Tu peux très rapidement "voir" ce que t'as dit Probaloser , en écrivant la matrice de $\phi$ dans une base adaptée à une décomposition

$E = W \oplus V$

Tu auras une matrice par bloc

$\left(\begin{array}{*9c}A & B\\ 0 & C\end{array}\right)$

Et comme det $\phi$ = det A . det C est non nul ,
tu en déduit que det A - en fait det $\phi_{| W}$ - est non nul, d'où la conclusion.

Saufs erreurs.

Airy.

Fadalbalataratatsoin

Ton exemple est necessairement en dimension infinie: si $phi$ laisse stable $W$ et que $\phi |_{W}$ est non bijective c'est que si $W$ est de dimension finie $Ker(\phi)$ est non nul et contient un vecteur non nul dans $W$. Des lors $\phi: E \ri E$ ne peut etre un isomorphisme.

Voici a mon avis un exemple:

soit $W$ l'espace vectoriel des suites reelles, c'est-a-dire $\mathbf{R}^{\mathbb{N}}$. On considere l'espace vectoriel $E = W_1 \oplus W_2$, , ou chaque facteur $W_i$ est isomorphe a $W$. Soit l'application $\phi: E \ri E$ definie de la maniere suivante:

1) on pose pour $w=(w_0,w_1,.....) \in W_1$, $\phi(w)= (0,w_0,w_1,........)$ (on decale a droite tout le monde et on met 0 en position 0), et on considere cette suite comme faisant partie de $W_1$ (autrement dit $\phi |_{W_1}$ n'a pas de composante sur $W_2$). Il est clair que $\phi |_{W_1}$ est injective {\bf{mais non surjective}} car la premier element de la suite image est toujours 0.

2) On pose pour $w=(w_0,w_1,.....) \in W_2$, $\phi(w) = (w^{'},w^{''}) \in W_1 \oplus W_2$ o\`u $w^{'}=(w_0,0,0,......)$, et $w^{''}=(w_1,w_2,.....)$ (pour $w^{''}$ on a decale les termes de $w$ d'un cran vers la gauche et on a "oublie" $w_0$, qui se retrouve dans $w^{'}$).

On definit ainsi par linearite un morphisme $\phi: E \ri E$, puisqu'on a definit ses restrictions sur chacune des composantes $W_i$ de $E$. Il est clair que tous les couples de suites dans $W_1 \oplus W_2$ sont atteints par $\phi$ donc $\phi: E \ri E $ est surjectif. Il est \'egalement injectif et comme dit plus haut sa restriction au sous-espace $W_1$ de $E$ est non surjective.

J'espere que c'est clair et sans erreur. Vous etes en quoi, en maths sup?

Fadalbalataratatsoin

Dans mon message precedent partout on l'on voit $\phi: E \ri E$ il faut lire $\phi: E \rightarrow E$.

Smallux

C' est a peu près l' idée que j' avais mais comme vous je n' arrive pas à expliciter les $W_{i}$ .
Et il était bien évident qu' on devait se placer en dimension infinie on sinon un simple argument de dimension permet de conclure. Enfin actuellement je suis en L3 de math

B....t2

Helo,



Quelqu'un sait il exprimer simplement une fonction possèdant le développement asymptotique suivant :

$$f(x)={B_0}^2x+{B_1}^2x+{B_2}^2x^2+{B_3}^2x^3...$$


où $B_i$ est le ième nombre de Bernoulli. Je ne me souvies pas l'avoir croisé.

Merci JJ ou un autre!

Probaloser

Ah oui j'ai bêtement supposé qu'on se plaçait en dimension finie...

Pour essayer de me faire pardonner je reprend l'idée de Fada... mais en simplifiant la présentation ("je retourne $W_2$ et je le colle à $W_1$") :

On prend $E=\R^{\Z}$ et on considère l'application définie par $\phi((x_i)_i)=(y_i)_i$ où $y_i=x_{i-1}$ (bref on décale tout d'une unité vers la droite). Cette application est un isomorphisme de $E$.

On prend ensuite pour $W$ l'ensemble des suites nulles pour les indices négatifs.

Smallux

merci a tous

francois