topologie

Bonsoir ,

On a $E$ un espace de Banach de dimension finie implique $Isom(E)$ est dense dans $L(E) $ ( où $Isom(E)$ représente les isomorphismes et $L(E)$ les endomorphisme).

En dimension infinie, toujours dans un Banach, on peut trouver des exemples ( dans $l^1(\N)$ par exemple) montrant que la densité de $Isom(E)$ dans $L(E)$ n' a pas toujours lieu.

Ma question est donc la suivante est ce que
$Isom(E) $dense dans $L(E)$ équivaut à $E$ de dimension finie.

Je prend disons un espace de Banach réel ou complexe.

Réponses

  • C'est fort malsain tout ça...
  • Est ce que tu pourrais nous donner le contre exemple dans $l^1$? Ca pourrait donner des idées.
    A chaud, j'aurais tendance à regarder du côté des opérateurs compacts, parce que c'est un fermé (on se dit qu'une partie fermée... ben voila c'est fermé donc si on veut s'en approcher, il va bien falloir y rentrer... d'accord, c'est bidon).
  • Ouais, ça marche pas du tout mon idée, rien que l'opérateur de troncature sur $l^1$ qui coupe à partir du n+1 ème terme s'approche facilement par des opérateurs inversibles.
  • Voilà le contre exemple dans $E=l_{\C}^1(\N)$ muni de sa norme usuelle:

    On considère l' opérateur suivant de décalage à gauche $\theta$ tel que
    si $x=(x_n)_{n \geq 0} \in E$ , on a $\theta x=(x_{n+1})_{n \geq 0}$.


    1) On peut déjà remarquer que $E=Ker(\theta) \oplus G$, où $G$ est un sous espace vectoriel fermé, car on peut le voir comme le noyau de
    la forme linéaire continue $\phi$ qui est définie par $\phi(x)=x_0$.
    $\theta$ est alors un isomorphisme de $G$ sur $E$.

    2) Considérons l'espace $Isom(G,E)$, il est ouvert dans $L(G,E)$
    ( c'est un fait général, si $E$ et $F$ sont deux espaces de Banach, on a $Isom(E,F)$ qui est ouvert).
    On a $\theta \in Isom(G,E)$, donc il existe $\epsilon >0$ tel que $B(\theta,\epsilon) \subset Isom(G,E)$. Ainsi les applications de $B(\theta,\epsilon)$ ne sont clairement pas injectives, si on les voit comme des applications de $L(E)$.

    3) Donc en résumé autour de $\theta$, il y a une boule ne contenant que des endomorphismes non injectifs donc $Isom(E)$ n'est pas dense pas $L(E)$.



    Voilà l' idée d' ou ma question de savoir si c'est un fait général en dimension infinie.
  • Dis Lionel, l'origine de l'exo, c'était pas le livre d'analyse fonctionnelle de Rudin ? Ou alors c'était l'exo d'avant qui venait de RCA ?
  • Je crois que c'est l' exo sur le théorème de Runge sur l' approximation des fonctions holomorphes qui est dans RCA, je n' ai pas de références pour l' exo sur la densité de $Isom$
  • As-tu un contre exemple dans un Hilbert ?
    Genre dans L² ?
    Sinon c'est vrai que la question est très malsaine, je vais essayer de me damner dessus...
  • Dans un Hilbert, je n' ai pas de contre exemple...peut être parce qu'il n' y en a pas...<BR>
  • Il y a une raison pour que cet exemple ne reste pas valable dans $l^2$?
  • Non, je ne sais pas...
    Mais les Hilbert, c'est vachement plus fort que les Banach alors on ne sait jamais.
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