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dans Les-mathématiques
Bonsoir ,
C'est peu être une question bête mais je me demandais quel est l' ensemble des n tels que il n' y ait qu' un seul groupe d' ordre n ( le groupe cyclique donc)?
C'est peu être une question bête mais je me demandais quel est l' ensemble des n tels que il n' y ait qu' un seul groupe d' ordre n ( le groupe cyclique donc)?
Réponses
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$n$ premier.
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Non. C'est l'ensemble: $\{n; gcd(n,\phi(n))=1\}$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
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Je vais etre stupide : l'ensemble des nombres premiers est inclus dans celui que tu cherches
A part ca il y aurai peut-etre 2005 : vas voir sur le sujet groupe que j'ai ouvert il y a peu, j'ai un exercice dont la question me laisse penser qu'un groupe d'ordre 2005 ne peut etre abelien. J'ai une pseudo preuve qui ne me convaint pas tellement mais si c'etait vrai 2005 serai dans ton ensemble (un groupe abelien d'ordre 2005 est Z/2005Z toujours par ce meme exo)
Comme tu le vois je ne suis pas du tout convaincu par mon 2005 mais si c'etait vrai ton ensemble pourrait etre beaucoup plus gros et surtout beaucoup plus complique -
exact, j'ai répondu trop vite, c'est fait dans le Francinou-Gianellapour l'agreg.
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Bon j'avais tort dans tous les sens : mon 2005 etait correct et l'ensemble n'est pas degueulasse du tout
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Vu la réponse de Julien c'est fort possible que cet ensemble soit bien plus gros.
Ma question initiale concernait les groupes abéliens ou non.
Concernant $2005$ il n' y a évidemment qu' un seul groupe abélien d' ordre $2005$ car $2005=5*401$ et que l' on a un théorème de structure des groupes abéliens...
Mais cela ne fournit pas un contre exemple à ma question car il pourrait y avoir un groupe non abélien d 'ordre 2005.
Si j' en crois la réponse de Julien ,cela signifie par exemple qu'il n' y qu'un seul groupe de cardinal $15$ ( premier nombre non premier pour lequel $n$ et $\phi(n)$ soient premier entre eux).
Comment montre t-on cela?
Que peux t-on dire de l' ensemble$\{n; gcd(n,\phi(n))=1\}$ , contient -il une infinité de nombre non premiers?
J' avoue que tout cela m' intrigue...
D' autre part en cherchant un peu il me semble que cet ensemble contient les nombres de la forme $p*q$ ou $p$ et $q$ premiers impairs distincts...est ce les seuls? -
Après un peu de Maple je viens de m' apercevoir qu'il y a pleins d' autres nombre dans l' ensemble de Julien comme $255=3*5*17$ ou $5865=3*7*17*23$. Je trouve même des nombres qui marchent avec 5 ou 6 facteurs. Peut être il y en a t- il vec un nombre arbitrairement grand de facteurs....
En fait il est clair qu' un nombre $n$ vérifiant la condition qu' il n'existe qu'un groupe d' ordre $n$ ne peut avoir de facteurs carré sinon il y a déjà plusieurs groupes abéliens. -
Pliz ce que j'ai dis c'est qu'il n'y avait qu'un unique groupe abelien d'ordre 2005
Ensuite, une question d'un exo me laissait penser qu'un groupe d'ordre 2005 ne pouvait pas etre abelien (Alain Debreil me l'a prouve depuis)
Donc il n'y a au final qu'un unique groupe d'ordre 2005 et 2005 repond bien a ta question
Voila c'etait juste pour preciser ce que j'avais dis meme si ce n'est pas bien utile vu la formule donne -
J' avais mal compris donc s'il n' y a qu' un unique groupe d' ordre $2005$ cela remet en question ma réponse de Julien, car $2005$ n'est pas premier avec $\phi(2005)=1600$. Ou est donc la vérité?
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Pilz: il n'y a qu'un seul groupe abélien d'ordre $2005$ ne veut pas dire qu'il n'y en a pas qui ne soient pas abéliens.
Sur Google Groups tape phi(n) et julien santini pour l'auteur, tu auras des infos sur ce sujet (mais à priori je suis sûr de ma réponse).
@+
Julien Santini -
Bonsoir
Arrêter de délirer sur 2005, $\varphi(2005) = 1600$ et $\mathrm{pgcd}(2005,1600) = 5$ donc conformément au critère spécifié par Julien, le cyclique d'ordre 2005 {\bf n'est pas le seul} groupe d'ordre 2005.
Voir ma réponse à Ryo:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=241997&t=241858#reply_241997}
Ce sujet a déjà été discuté plusieur fois sur le forum, entre autre
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=91282&t=91235}
qui pointe sur la belle démonstration de Gaétan Chanevier :
\lien{http://groups.google.fr/group/fr.sci.maths/browse_thread/thread/d9ec744b4731d4a2/09d499024e13c957?q=author:Gaetan+author:Chenevier&rnum=28&hl=fr#09d499024e13c957}
Alain -
D' accord, merci Alain et Julien , je ne comprenais plus car ryo a écrit explicitement dans un de ses messages :"Donc il n'y a au final qu'un unique groupe d'ordre 2005 et 2005 repond bien a ta question".
Cependant je me demande à quoi ressemble $\{n \in \N; gcd(n,\phi(n))=1\}$? -
Si $n\in \{n \in \N; gcd(n,\phi(n))=1\}$ alors $n$ est un produit de premier deux à deux distincts (disons $p_i$ tel que $p_i \not \mid p_j-1$).
Vincent -
Si $n\in \{n \in \N\ ;\ \mathrm{pgcd}(n,\varphi(n))=1\}$ alors $n$ est un produit de premiers deux à deux distincts (disons $p_i$ tel que $non(p_i \mid p_j-1)$).
Vincent -
Désolé d'avoir soutenu un truc faux, j'en étais persuadé.
J'ai effectivement écrit : "Donc il n'y a au final qu'un unique groupe d'ordre 2005 et 2005 répond bien à ta question" et ceci est FAUX
Donc 2005 ne répond PAS à la question conformément à ce que dit Julien. -
merci Vincent cela devient de plus en plus précis, mais à priori pas de caractérisation simple de ces nombres...
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