groupe d' isométrie

Bonjour,
Quel est le groupe d' isométrie du cube de dimension $n$ ($n \geq 4$, avant je sais)

Réponses

  • C'est le produit semi-direct de $({\Bbb Z / 2\Bbb Z )}^n $ pas le groupe symetrique $\Sigma _n $, ce dernier agissant su le premier par permutation des coordonnees. Pour voir cela, tu vois facilement que les "grandes diagonales" sont stables par isometries et qu'il y en a $n$. Tu vois aisement que le morphisme induit par l'action du groupe d'isometries sur cet ensemble est surjectif (regarde ce qui se passe si tu fixes un sommetdu cube). Le noyau est l'ensemble des isometries du cube qui fixe (globalement) chaque grande diagonale. Or, si tu retires deux sommets diametralement opposes $A$ et $A'$ du cube, les autres sont sur un hyperplan et la symetrie orthogonale par rapport a cet hyperplan permute juste $A$ et $A'$. De plus, toutes ces symetries orthogonales commutent car deux tels hyperplans sont orthogonaux.
  • Merci beaucoup,c' est exactement ce que je recherchais
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