Calculs de courbures...

nico8

Bonsoir,

Je suis en train de calculer les courbures des courbes paramétrées suivantes (la première en coordonnées cartésiennes et la seconde en coordonnées polaires).

J'ai des formules dans le cours donnant directement ces courbures en fonction de x', x'', y' et y'' (dans le premier cas) et rho, rho' et rho'' (dans le second) mais j'obtiens des résultats HORRIBLES !

Pouvez vous me dire si on peut trouver des choses simples ?

La première : $x(t)=t^{2} \ln(t)$ et $y(t)=t \big( \ln(t) \big)^{2}$.

La seconde : $\rho(\theta)=\cos(\theta)+\cos(2\theta)$

Merci d'avance pour votre aide,

Nico.

ryo0

Personne n'a l'air decide alors je vais essayer de faire les calculs

pour la premiere je trouve :
$k(t)=\frac{-2(\ln(t))^3-3(\ln(t))^2+2}{((\ln(t))^4+4(\ln(t))^3+4(\ln(t))^2(1+t^2)+4t^2\ln(t)+t^2)^{\frac{1}{2}}}$

pour la deuxieme :
$k(t)=\frac{5+(\cos(2\theta))^2+\cos(\theta)\cos(2\theta)+4\sin(\theta)\sin(2\theta)+5\cos(\theta)\cos(2\theta)}{(2+(\sin(2\theta))^2+2\cos(\theta)\cos(2\theta)+4\sin(\theta)\sin(2\theta))^\frac{3}{2}}$

Pour la deuxieme expression il y a peut-etre plus simple vu que c'est de la trigo mais pour la premiere je vois pas trop
De toute facon c'est assez souvent que les expressions sont horribles dans ce genre de calculs

PS : Je ne suis absolument pas sur de la justesse de mes calculs

Alain Debreil

Personne n'a l'air décidé alors je vais essayer de faire les calculs

pour la première je trouve :
$$k(t)=\frac{-2(\ln(t))^3-3(\ln(t))^2+2} { \sqrt{(\ln(t))^4+4(\ln(t))^3+4(\ln(t))^2(1+t^2)+4t^2\ln(t)+t^2 }}$$

pour la deuxième :
$$k(t)=\frac{5+(\cos(2\theta))^2+\cos(\theta)\cos(2\theta)+4\sin(\theta)\sin(2\theta)+5\cos(\theta)\cos(2\theta)}{(2+(\sin(2\theta))^2+2\cos(\theta)\cos(2\theta)+4\sin(\theta)\sin(2\theta))^\frac{3}{2}}$$

Pour la deuxième expression il y a peut-être plus simple vu que c'est de la trigo mais pour la première je ne vois pas trop.
De toutes façons c'est assez souvent que les expressions sont horribles dans ce genre de calculs.

PS : Je ne suis absolument pas sûr de la justesse de mes calculs.


[Juste les formules en plus gros. AD]

nico8

Bonjour Ryo,

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de faire ces calculs !

Je trouve pareil que toi, sauf une puissance 3/2 au dénominateur de la première expression (plutôt qu'une racine carrée).

Je suis rassuré de savoir que cela ne se simplifie pas...

Merci encore,

Nico.

ryo0

Tu as raison c'est bien 3/2 au dénominateur dans la première.

Et merci au modérateur qui as grossi mes formules, je ne sais pas le faire en latex


[Tu encadres l'expression mathématique par $$ ... $$ au lieu de $ ... $ . AD]

Sylvain

Ah la courbure, ça me rappelle ma jeunesse (toute relative) où j'essayais de trouver une fonction non nulle qui soit égale à sa courbure. L'équa diff correpondante (y=y".(1+y'²)^(-3/2)) étant plutôt compliquée, je n'avais pas pu conclure sur l'existence ou non d'une telle fonction.
Sinon, je croyais que l'unique but des $$...$$ était de centrer l'expression.

Sylvain