groupe diédral

Bonjour,

Je me pose une question, je connais le groupe diédral qui est formé de n rotations et de n réflexions ( le groupe d' isométrie du polygone régulier à n côtés). Je sais également que $D_n=\Z / n \Z \succ \Z/2\Z$ ( j' ai pas trouvé le symbole du produit semi direct!)
Evidemment $\Z /n\Z$ peut être vu comme le groupe des n rotations et $\Z /2\Z \simeq \{e,\sigma \}$ ou $\sigma$ est une des réflexions.

Cependant je n' arrive pas à expliciter le morphisme $\phi$ de $\{e,\sigma \}$ vers $Aut(\Z / n\Z)$ qui correspond au produit semi direct.
Est-ce $\phi(\sigma)(r)=\sigma r \sigma$? c'est àdire une action par conjugaison?

Merci d' avance.

Réponses

  • Ce serait bien indépendemment de tout de savoir quels sont les automorphismes de Z/nZ qui sont d'ordre deux !
  • je vois ce que tu veux dire, en fait je ne sais pas dans le cas général mais ici
    si $\sigma$ est une réflexion , on a $\sigma r \sigma=r^{-1}$, et l' inverse est bien un automorphisme d'ordre 2, donc pas de problème.

    Je crois qu'en général $Aut(\Z /n\Z) \simeq (\Z/n\Z)^*$, donc après il suffit de trouver les éléments d' ordre 2 de $(\Z/n\Z)^*$ , la je sais plus il y en a t-il plusieurs...
  • Bonjour Pilz.

    En reprenant tes notations, tu as $\phi(e)$ qui est l'identité et $\phi(\sigma)$ qui est l'application qui, à tout élément de $\Z/n\Z$ associe son opposé.

    Pratiquement, dans $\Z/n\Z \rtimes_\phi \Z/2\Z$, tu as :
    $$\phi(\sigma)(r) = srs = -r.$$

    Sauf erreur de compréhension de ma part car j'ai traduit algébriquement ma vision géométrique de l'objet.

    Bruno
  • Bon, je crois que j'enfonce une porte ouverte :-(

    Bruno
  • Bah maintenant on sait faire le produit semi direct en latex, ce qui n'est deja pas un mince gain.
  • Tu as raison, c'est un apport considérable à la connaissance... J'entends déjà certains sarcasmes...

    Bruno
  • D' accord c'est bien ce que je pensais. Mais j' ai un peu de mal à faire la correspondance entre les éléments

    Notons $r_1$ la rotation élémentaire et $r_k=r_1^k$ alors
    $r_k$ correspond à l'élément $(k,1)$ de $\Z/n\Z \succ \Z/2\Z$
    et si l' on note $\sigma_0$ la symétrie de référence on a donc $\sigma_k=r_k \sigma_0$ et $\sigma_k$ correspond à l' élément $(r_k,\sigma_0)$. Et dans ce cas $(r_i,a)(r_j,b)=(r_ir_j^{-1},ab)$ ( $a$ et $b$ $\in \{1,\sigma_0\}$)
    Si $f$ et $g$ sont deux isométries du polygone à $n$ cotés alors si $f=(s,a)$ et $g=(r,b)$ est ce que $fog$ correspond à $(s,a)(r,b)$ ou à $(r,b)(s,a)$.
    En fait ma question est la suivante quel est le lien entre la loi de composition sur l' ensemble des isométries du polygone et la loi de groupe sur $\Z/n\Z \succ \Z/2\Z$?
  • J'ai l'impression que le lien pourrait résider dans le théorème suivant :
    <BR>
    <BR><I>Tout groupe fini de déplacements du plan euclidien est cyclique</I>.
    <BR>
    <BR>Le groupe des isométries qui conserve un polygone régulier est fini, donc son sous-groupe des déplacements est cyclique etc.
    <BR>
    <BR>Bien sûr, qu'est-ce qu'un polygone régulier ? C'est l'orbite d'un point du plan par un groupe fini d'isométries de celui-ci.
    <BR>
    <BR>Bruno<BR>
  • pour Pilz:
    Date: 12-23-05 13:07


    il ya bien sûr l'élément -1=n-1 dont la présence implique, soit dit en passant, que l'indicateur d'Euler de $n$ est pair dès que n>2.

    mais il ya d'autres éléments d'ordre deux! et c 'est là que c'est joli. car il ya plusieurs produits semi-directs possibles...

    continue a chercher...
  • J'avoue que celà n'est pas encore très clair, peut être faudrait-il distinguer les cas pair et impair
  • A mon avis l'action est toujours une conjugaison quand on veux casser un groupe G en produit semi-direct de deux sous-groupes

    Et en fait quand tu regardes bien ce qui se passe si tu crées un produit semi-direct à partir de deux groupes et une action
    G=G1*G2 tu identifies G1 à (g1,e) et G2 à (e,g2)
    Tu as G=G1.G2 et l'action devient une conjugaison
    oui si tu calcules :

    g2g1g2^{-1}

    Ca s'écrit sur la deuxième composante c'est e sur la premier on calcule avec l'action de p : G2 sur G1

    (e,g2)(g1,e)(e,g2^-1)=(p(g2)(g1),e) c'est exactement la même action
  • Bonsoir Pilz

    Effectivement, comme le montre Amaye, dans le produit semi-direct $G=H\rtimes_\phi K$, l'action de $K$ sur $H$ est toujours une conjugaison (en considérant $H,K$ comme des sous-groupes de $G$). On peut voir ça avec le graphique :
    $$\begin{array}{crcl}
    \phi : & K & \rightarrow & Aut(H) \\
    &k &\mapsto & \phi'k)=int_k|_H = (h \mapsto khk^{-1})
    \end{array} $$
    $int_k|H$ est bien un automorphisme de $H$ puisque $H\lhd G$
    En résumé, lorsqu'on parle du produit semi-direct "extérieur" entre deux groupes, on utilise l'action de $K$ sur $G$ défini par le morphisme $\phi : K\rightarrow Aut(H)$
    Mais une fois construit ce produit semi-direct externe, on peut identifier $H$ et $K$ à respectivement à $H\times \{1\}$ et $\{1\}\times K$, ce qui permet de considérer directement $H, K$ comme sous-groupe de $G$.
    Alors en reprenant l'argument de Amaye :
    $int_k(h)=khk^{-1}=(1,k)(h,1)(1,k^{-1}) = (\phi(k)(h),kk^{-1}) = \phi(k)(h)$
    L'action de $K$ sur $H$ est bien la conjugaison entre éléments de $G$.


    En ce qui concerne les groupes diédraux, le groupe $K$ est $\Z/2\Z$ et le groupe $H$ est cyclique, donc admet l'automorphisme $(x \mapsto -x)$ en notation additive ou $(x \mapsto x^{-1})$ en notation multiplicative.
    Pour reprendre la réalisation du diédral par le groupe des isométries du $n$-gone, la rotation $r$ est un générateur du cyclique et $s$ une réflexion engendre le $\Z/2\Z$. Alors on a bien $srs^{-1}=r^{-1}$ (un petit schéma permet de s'en convaincre).

    Pour généraliser la notion de diédral, pour tout $H$ commutatif, $(x\mapsto x^{-1})$ est un automorphisme non trivial ssi $H$ n'est pas isomorphe à $(Z/2\Z)^k$. Cet automorphisme permet donc de définir le produit semi-direct $H\rtimes_\phi \Z/2\Z$, en appelant $s$ le générateur du $\Z/2\Z$, alors $\phi(s)=(h\mapsto h^{-1})$

    Alain
  • $$\begin{array}{crcl}
    \phi : & K & \rightarrow & Aut(H) \\
    &k &\mapsto & \phi(k)=int_k|_H = (h \mapsto khk^{-1})
    \end{array} $$
  • Allez, j'y vais de mon petit point de vue naïf : le produit semi-direct n'est pas si abstrait que cela !

    Voici caractérisation du produit semi-direct :

    {\it Soit~$G$ un groupe et~$H$ et~$K$ deux sous-groupes de~$G$. Si~$H \lhd G$ et si $G = H.K$ (tout élément de~$G$ est produit d'un élément de~$H$ et d'un élément de~$K$), alors $G$ est produit semi direct de~$H$ par~$K$.}

    Considérons un élément de~$G$ qui s'écrit~$kh$, d'après la caractérisation, il s'écrit également~$h'k'$ ; mais comme~$H$ est distingué dans~$G$, cette écriture est simplifiée en~$h'k$ et nous voyons notre conjugaison apparaître.

    Remarque : cette caractérisation des produits semi-directs fonctionne bien en géométrie, par exemple on constate ainsi que le groupe des homothéties/translations est produit semi-direct du groupe des translations par le groupe des homothéties de centre un point~$O$ arbitrairement choisi.
  • Attention Bruno, il faut que les sous-groupes H et k se coupent trivialement.

    Tout cela ne répond pas à la question quels sont les produit semi-directs possibles entre Z/nZ et le groupe à deux éléments...
  • Merci à tous et surtout à Alain pour toutes ces explications très claires
  • Tout à fait exact sser-ici, c'est tellement habituel dans les groupes affines et autres que j'ai commis l'erreur. Merci,

    Bruno
  • Si l'on prend le groupe $Z/8$, il a trois automorphismes d'odre deux.

    Les produits semi-directs $Z/8$ par $Z/2$ sont au nombre de trois.
    Outre le groupe diédral on a le groupe
    $G_{16}^{(4)}$, qui correspond à l'automorphisme de multiplication par $3$, et on a le groupe $G_{16}^{(5)}$ appelé parfois groupe modulaire et qui provient de l'automorphisme de multiplication par $5$.

    Morale: c'est dangereux ds une leçon d'agrégation, à moins de vouloir tendre une perche au jury, de dire que le groupe didédral est "le" produit semi-direct non trivial de $Z/n$ par $Z/2$.
  • Bonjour sser-ici

    Je te vois utiliser une notation $ G_{16}^{(4)}$ ou $ G_{16}^{(5)}$. Est-elle personnelle ou y a-t-il une standardisation de nomenclature qui se dessine ?

    D'autre part, pour ta question sur les extensions directe ou semi-directes de $\Z/2\Z$ par $\Z/n\Z$ du "12-23-05 12:16" réitérée plusieurs fois "12-24-05 14:29", je pense y avoir répondu dans un autre post de Pilz :
    \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=237672&t=237562#reply_237672}

    Alain
  • Merci Alain, très bon lien en effet !!

    je note une petite imperfection
    "Ainsi les éléments d'ordre 2 de forment (avec l'identité) un espace vectoriel sur de dimension k si n est impair et k+1 si n est pair."

    plutôt si n est multiple de 8, non ?

    quant à la notation bizarre, je l'ai recopié tout bêtement dans ce lien:

    <http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html&gt;

    (pardon d'avoir manqué de rigueur)
  • Pour Alain:

    Pourquoi les différents groupes produits semi-directs sont non isomorphes deux à deux ?

    Ok pour le groupe diédral car on sait que ts les éléments d'ordre deux agissent par l'automorphisme$x\mapsto -x$

    mais ce n'est pas clair a priori pour les autres, à moins d'utiliser des résulats sur $Ext(Z/2,Z/nZ)$ non ? et encore je ne suis pas sûr.

    Bien cordialement
  • Bonjour sser-ici

    Remarque que j'ai dit que les $2^m$ produits directs ou semi-directs étaient {\bf à priori} différents. Je m'appuye sur les messages que j'avais écrit il y a quelques temps sur le forum : \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=133763&t=133696#reply_133763} complété avec \lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=222643&t=133696#reply_222643}.
    Il me semble que dans chaque cas, il faut par exemple compter les éléments avec leur ordre, pour garantir la non isomorphie.

    Alain
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