oral de Tate par Artin

borde

On ne présente plus Artin...Quant à Tate, qui a été son élève, est lui aussi devenu fameux, notamment par sa thèse sur les équations fonctionnelles des fonctions zeta de Dedekind...Mais ceci est une autre histoire !

Pour en revenir au titre de ce post, Artin avait posé à Tate, lors d'un examen d'oral, le sujet suivant :

Soit $\K / Q$ une extension galoisienne et $P$ son polynôme (unitaire et irréductible sur $\Q$) qui la définit. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $\overline {P}$ soit irréductible sur $\Z / p \Z$. Que peut-on dire alors sur $Gal (\K / \Q)$ ?

Pas simple, comme oral, non ?

Bon courage,

Borde.

rémi

Ausune idée vu que je connais rien à la théorie de Galois mais je te fais confiance là-dessus ;-)

borde

Salut Rémi,

Je vais laisser cet exercice jusqu'à demain : cela sera intéressant de voir les réponses possibles des intervenants habituels ou non.

Indication : la réponse tient en une ou deux lignes.

Borde.

corentin0

Ca me fait penser qu'il y avait un truc dans mon cours sur la réduction modulo p, et les applications à la connaissance du groupe de Galois, mais c'est loin... Et puis je n'aime pas ça.

borde

Dommage, Corentin...Mais je conseille de faire un petit détour par la théorie algébrique des nombres, plutôt que de penser Galois exclusivement.

Après tout, Artin et Tate furent deux monstres sacrés de cette branche.

Borde.

corentin0

Ca me fait penser: qu'est ce que tu appelles théorie algébrique des nombres (c'est ce qu'on appelle mettre une pièce dans la machine...).
J'avais suivi un module d'arithmétique en maitrise, donc j'ai quelques connaissances, mais je dois bien reconnaitre que je ne me rappelle plus de grand chose.

borde

La théorie algébrique des nombres est l'étude des corps de nombres, absolus ou relatifs, c'est-à-dire des extensions algébriques de $\Q$ ("extensions absolues"), ou, plus généralement, d'un corps $\K$ ("extensions relatives") algébrique sur $\Q$. L'un des buts est l'étude des anneaux des entiers de tels corps, qui sont des anneaux de Dedekind.

Elle tente de répondre à au moins trois questions :

1. Etude d'une base entière de l'anneau des entiers.

2. Etude du groupe des classes, et nombre de classes.

3. Etude des extensions abéliennes, th. de Kronecker-Weber et théorie du corps de classes, et répondre à la question fondamentale suivante : peit-on généraliser cette étude aux corps galoisiens non abéliens ? Voire même, si on est vraiment fou, peut-on généraliser aux corps de nombres quelconques ?

Les outils utilisés sont essentiellement des outils profonds d'algèbre, et aussi des outils analytiques (la thèse de Wimmert sur {\it les classes jumelles} a changé la donne...).

Ai-je été satisfaisant ?

Borde.

oumpapah2

Bonjour

Sans répondre à Olivier directement, je profite de l'occasion :
Je suis plongé avec ravissement dans le bouquin de H.Silverman and John Tate intitulé :
Rationnal points on elliptic curves
edité chez Springer
( que tu connais certainement ?)

Les candidats aux concours d'enseignement y trouveraient un exemple succulent de groupe attaché à une cubique (que j'avais, très vaguement vu il y a fort longtemps)

Dès la page 17, un choc :

l'équation de Diophante 3X^3+4Y^4+5Z^5 =0
n'a pas de solution entière autre que (0,0,0)
et cependant elle en a modulo m, non banales, pour tout entier m…

( et donc se battre en réduisant mod m convenable pour prouver qu'une équation de Diophante n'a pas de solution, ne donne que des conditions suffisantes de non existence "en remontant".
Je ne dois donc pas m'étonner d'échouer avec de petits moyens pour montrer que l'équation de Bachet Y^3=X²+5 n'a pas de solution en nombres entiers...)

J'ai de quoi passer des vieux jours agréables avec ces cubiques…

Oump

corentin0

Merci Borde.

lolo

Ben oui Oumpapah le principe de Hasse marche pour les formes quadratiques et pas au delà.

En fait ce qui est fait dans cet excellent livre est un cas particulier de la chose suivante : Si C est une courbe algébrique (je ne donne pas la définition) elle peut être plongée dans un groupe algébrique de dimension g (quand C est une cubique g = 1) , grosso modo le "g" grossi en fonction du degré de la courbe (sans entrer dans les détails).

Théorème si g =1 , le groupe des points rationnels est de rang fini

Problème ouvert sur les rationnels peut-on trouver des cubiques de rang arbitrairement grand ?

Problème résolu (Merel il y a 7 ans je crois) : la torsion de ces courbes est bornée par une constante qui ne dépend ....de rien (pas de la courbe).


pour g >1 , c'est le début d'une des preuves de Faltings :

Théorème (ex conjecture de Mordell) Toute courbe de genre g >1 (définie sur les rationnels, non singulière etc...) n'a qu'un nombre fini de points rationnels.

exemple : $ X^n + Y^n = Z^n $ est de genre g >2 dès que n >3 donc Fermat n'a qu'un nombre fini de solutions pour chaque n fixé (enfin c'et ce qu'on avait avant Wiles)


lolo

ABC1

Bonjour,
<BR>
<BR>aucune idée, ne conaissant rien en théorie des nombres, mais bonne idée de fil, n'hésitez pas à donner la réponse...
<BR>
<BR>Elle fut probablement posée lors des quals de Tate, n'est-ce pas ? [aux Etats-Unis on ne peut soutenir une thèse avant d'avoir validé des examens notamment oraux (les "quals"), qui sont généralement de niveau master 1 et 2 (anciens DEA)].
<BR>
<BR>D'autres questions de ce genre plus récentes et qui valent aussi le détour existent aux adresses
<BR><a href=" http://www.math.princeton.edu/graduate/generals/"&gt; http://www.math.princeton.edu/graduate/generals/</a&gt;
<BR><a href=" http://www.math.harvard.edu/graduate/quals/"&gt; http://www.math.harvard.edu/graduate/quals/</a&gt;
<BR><a href=" http://www.math.purdue.edu/~bell/Quals/"&gt; http://www.math.purdue.edu/~bell/Quals/</a&gt;
<BR>
<BR>Merci aussi à Oump pour l'intéressante remarque sur les solutions mod m de cubiques (pour le néophyte que je suis).<BR>

pauvre aire

L'addition sur les courbes elliptiques non singuliere, est devenue un truc qui est devenu populaire en maths appliques a la cryptologie:
Par exemple il existe une methode de factorisation de grands nombres entiers qui utilise la propriete d addition sur une courbe elliptique non singuliere

La question de Borde me rappelle, un chapitre du livre de P Samuel
: "Theorie des nombres algebriques" (edition Hermann)
il y'a un chapitre si ma memoire ne me trahit pas , où il est question de la relation entre un groupe de galois et les reductions modulo p du polynome irreductible qui donnent d'autres groupes de galois sur Fp

Au pifometre (comme ca d instinct), je dirais que :

$Gal(\K,\Q) \subset Gal(\L,\Z/(p)} $ ?

$\K$ corps de decomposition (de rupture?) du polynome a coefficients dans $\Q$
$\L$ corps de decomposition (de rupture?) du polynome precedant mais reduit mod. p sur $\Z/(p)$

pauvre aire

(jai ete encore distrait, jai oublie de cocher la case latex )

L'addition sur les courbes elliptiques non singuliere, est devenue un truc qui est devenu populaire en maths appliques a la cryptologie:
Par exemple il existe une methode de factorisation de grands nombres entiers qui utilise la propriete d addition sur une courbe elliptique non singuliere

La question de Borde me rappelle, un chapitre du livre de P Samuel
: "Theorie des nombres algebriques" (edition Hermann)
il y'a un chapitre si ma memoire ne me trahit pas , où il est question de la relation entre un groupe de galois et les reductions modulo p du polynome irreductible qui donnent d'autres groupes de galois sur Fp

Au pifometre (comme ca d instinct), je dirais que :

$Gal(\K,\Q) \subset Gal(\L,\Z/(p)} $ ?

$\K$ corps de decomposition (de rupture?) du polynome a coefficients dans $\Q$
$\L$ corps de decomposition (de rupture?) du polynome precedant mais reduit mod. p sur $\Z/(p)$

borde

Je reviens après une heure de cours...et cela fait plaisir de voir tous ces commentaires intéressants.

Pour Claude : je connais de réputation de livre que tu donnes, mais ce n'est pas ma "spécialité", plutôt celle de Lolo ou de Manuel. Ceci dit, il y a intersection de la théorie algébrique des nombres et l'étude des courbes elliptiques sur quelques cas particuliers d'équations diophantiennes. Si tu me le permets, encore une référence dans le même genre : {\bf David A; Cox}, {\it Primes of the form "x^2 + ny^2$}, Wiley and Sons (1989), où il y a une application concrète de la théorie du corps de classes. Je me l'achèterai peut-être un jour.

Pour abc : oui, c'est les quals de Tate...et merci pour tes liens ! Je donnerai une réponse demain, mais ce ne sera (malheureusement) que {\it ma} réponse, n'étant pas Tate, loin de là (car je serais riche...intellectuellement, s'entend...), et il faudra alors s'en contenter. Mais j'avoue être intéressé par tout type d'intervention sur ce fil.

Pour Lolo : je connaissais en particulier le résultat de Siegel (1929) : toute courbe alg. de genre non nul a un nombre fini de points entiers. On s'en est servi sur le forum, une fois ou deux.

Pour Pauvre Aire : le résultat est plus simple, en terme de caractéristique algébrique de $Gal(\K / \Q)$, du genre : $Gal(\K / \Q)$ est ...

Bon courage,

Borde.

borde

Je reviens après une heure de cours...et cela fait plaisir de voir tous ces commentaires intéressants.\\
\\
Pour Claude : je connais de réputation de livre que tu donnes, mais ce n'est pas ma "spécialité", plutôt celle de Lolo ou de Manuel. Ceci dit, il y a intersection de la théorie algébrique des nombres et l'étude des courbes elliptiques sur quelques cas particuliers d'équations diophantiennes. Si tu me le permets, encore une référence dans le même genre : {\bf David A; Cox}, {\it Primes of the form $x^2 + ny^2$}, Wiley and Sons (1989), où il y a une application concrète de la théorie du corps de classes. Je me l'achèterai peut-être un jour.\\
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Pour abc : oui, c'est les quals de Tate...et merci pour tes liens ! Je donnerai une réponse demain, mais ce ne sera (malheureusement) que {\it ma} réponse, n'étant pas Tate, loin de là (car je serais riche...intellectuellement, s'entend...), et il faudra alors s'en contenter. Mais j'avoue être intéressé par tout type d'intervention sur ce fil.\\
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Pour Lolo : je connaissais en particulier le résultat de Siegel (1929) : toute courbe alg. de genre non nul a un nombre fini de points entiers. On s'en est servi sur le forum, une fois ou deux.\\
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Pour Pauvre Aire : le résultat est plus simple, en terme de caractéristique algébrique de $Gal(\K / \Q)$, du genre : $Gal(\K / \Q)$ est ...\\
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Bon courage,\\
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Borde.

YB

Est-ce que le groupe de Galois ne serait pas cyclique?

borde

Si !!

Borde.

borde

OK...YB a trouvé, inutile d'attendre demain pour une rédaction possible :

Soit $\mathfrak {p}$ un idéal premier au-dessus de $p$. Puisque $\overline {P}$ est irréductible sur $\mathbb {F}_{p}$, $p$ est inerte dans l'extension $\K / \Q$, donc $Gal (\K / \Q)$ est {\it cyclique}, engendré par le frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$ (voilà, en tout cas, ce que j'aurais dit si j'avais été Tate...).

Je tiens à remercier chaleureusement tous les intervenants de ce fil qui lui ont donné vie (ainsi que tous les lecteurs).

A +

Borde.

rere

C'est quoi un idéal premier au dessus de p, c'est quoi inerte, c'est quoi le Frobenius ???

pauvre aire

Rere:

"théorie algébrique des nombres" de P. Samuel (il ya une édition française)

(jai un peu oublié ce domaine, ça fait plus de 10 ans que je n'y ai pas mis le nez dedans )

borde

Je complète le post de Pauvre Aire (Fred pourra aussi nous aider)...Soit $\K / \Q$ un corps de nombres, $p$ un nombre premier et $\mathfrak {p}$ un idéal premier de $\Z_{\K}$, l'anneau des entiers de $\K$. On dit que $\mathfrak {p}$ est {\it au-dessus} de $p$, et on note $\mathfrak {p} \mid p$, si l'une des trois conditions équivalentes est réalisée :

(i) $(p) \subset \mathfrak {p}.
(ii) $\mathfrak {p} \cap \Z = (p)$.
(iii) $\mathfrak {p} \cap \Q = (p)$.

On montre que :

(i) Pour tout idéal premier $\mathfrak {p}$ de $\Z_{\K}$, il existe un unique nombre premier $p$ tel que $\mathfrak {p} \mid p$.
(ii) Tout nombre premier $p$ possède au plus $n$ idéaux premiers $\mathfrak {p}$ au-dessus de lui, où $n$ est le degré de $\K / \Q$.

On dit que $p$ est {\it inerte} si $(p) = \mathfrak {p}$.

Enfin, si $\Gal(\K / \Q)$ est abélien, et si $p$ est un nombre premier avec $\mathfrak {p} \mid p$, alors on définit l'automorphisme de Frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$ par $\sigma_{\mathfrak {p}}(x) \equiv x^{\mathcal {N}(\mathfrak {p})} \pmod {\mathfrak {p}}$$ pour tout $x \in \K$. Il généralise le frobénius connu de $\mathbb {F}_{p}$.

Borde.

borde

Je complète le post de Pauvre Aire (Fred pourra aussi nous aider)...Soit $\K / \Q$ un corps de nombres, $p$ un nombre premier et $\mathfrak {p}$ un idéal premier de $\Z_{\K}$, l'anneau des entiers de $\K$. On dit que $\mathfrak {p}$ est {\it au-dessus} de $p$, et on note $\mathfrak {p} \mid p$, si l'une des trois conditions équivalentes est réalisée :

(i) $(p) \subset \mathfrak {p}$.
(ii) $\mathfrak {p} \cap \Z = (p)$.
(iii) $\mathfrak {p} \cap \Q = (p)$.

On montre que :

(i) Pour tout idéal premier $\mathfrak {p}$ de $\Z_{\K}$, il existe un unique nombre premier $p$ tel que $\mathfrak {p} \mid p$.
(ii) Tout nombre premier $p$ possède au plus $n$ idéaux premiers $\mathfrak {p}$ au-dessus de lui, où $n$ est le degré de $\K / \Q$.

On dit que $p$ est {\it inerte} si $(p) = \mathfrak {p}$.

Enfin, si $\Gal(\K / \Q)$ est abélien, et si $p$ est un nombre premier avec $\mathfrak {p} \mid p$, alors on définit l'automorphisme de Frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$ par $$\sigma_{\mathfrak {p}}(x) \equiv x^{\mathcal {N}(\mathfrak {p})} \pmod {\mathfrak {p}}$$ pour tout $x \in \K$. Il généralise le frobénius connu de $\mathbb {F}_{p}$.

Borde.

omar2

Bonsoir,

J'ai un doute : le polynôme $f(X)=X^5-X-1$ est irréductible modulo 3, mais le groupe de Galois de $f$ est $S_5$, non cyclique Je me trompe peut-être ?

Amicalement

borde

Je complète le post de Pauvre Aire (Fred pourra aussi nous aider)...Soit $\K / \Q$ un corps de nombres, $p$ un nombre premier et $\mathfrak {p}$ un idéal premier de $\Z_{\K}$, l'anneau des entiers de $\K$. On dit que $\mathfrak {p}$ est {\it au-dessus} de $p$, et on note $\mathfrak {p} \mid p$, si l'une des trois conditions équivalentes est réalisée :

(i) $(p) \subset \mathfrak {p}$.
(ii) $\mathfrak {p} \cap \Z = (p)$.
(iii) $\mathfrak {p} \cap \Q = (p)$.

On montre que :

(i) Pour tout idéal premier $\mathfrak {p}$ de $\Z_{\K}$, il existe un unique nombre premier $p$ tel que $\mathfrak {p} \mid p$.
(ii) Tout nombre premier $p$ possède au plus $n$ idéaux premiers $\mathfrak {p}$ au-dessus de lui, où $n$ est le degré de $\K / \Q$.

On dit que $p$ est {\it inerte} si $(p) = \mathfrak {p}$.

Enfin, si $Gal(\K / \Q)$ est abélien, et si $p$ est un nombre premier avec $\mathfrak {p} \mid p$, alors on définit l'automorphisme de Frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$ par $$\sigma_{\mathfrak {p}}(x) \equiv x^{\mathcal {N}(\mathfrak {p})} \pmod {\mathfrak {p}}$$ pour tout $x \in \K$. Il généralise le frobénius connu de $\mathbb {F}_{p}$.

Borde (correction effectuée).

borde

Oui, Omar, mais ton extension n'est pas normale.

Borde.

omar2

Bonsoir,

Je ne comprends pas. L'extension en question est le corps de décomposition
de $f$. C'est une extension galoisienne de $\Q$. Le groupe de Galois est
$S_5$. Modulo $3$ $f$ reste irréductible.

Je pense que la seule chose qu'on peut dire est que le groupe de galois de $f$ contient un cycle d'ordre 5 (pour le $f$ que j'ai donné en exemple).

Amicalement

borde

Ton extension est donc de degré $5$ alors que ton groupe de Galois est d'ordre $120$...

Borde.

borde

Le polynôme en question est le polynôme définissant le corps de nombres $\K / \Q$ : celui-ci n'est pas le corps de décomposition de $P$, d'où (peut-être) le malentendu (?).

Borde.

omar2

Rebonsoir,

Pourquoi serait-elle de degré 5 cette extension ? Le corps de décomposition de $f$ a pour degré au plus , ici $5!$, et 120 peut faire l'affaire.

Il doit y avoir un malentendu sur l'énoncé de la question. Qu'entendez-vous par "polynôme qui la définit" ?

Si je prends un polynôme irréductible, comme le $f$ donné, et que je prends son corps de décomposition, j'ai bien une extension $K$ Galoisienne de $\Q$.
Le théorème de l'élément primitif permet bien sûr d'écrire $K$ comme un $\Q(x)$, $x$ racine d'un autre polynôme $P$ irréductible sur $\Q$. Cette manip ne change pas le groupe de Galois.

Amicalement

borde

Oui, il y a un manifestement un malentendu : le polynôme $P$ est "au service" du corps de nombres, et non le contraire.

Reprenons : soit $\K = \Q(\theta)$ un corps de nombres de degré $n$ sur $\Q$. Le "polynôme $P$ définissant" ce corps est le polynôme (unitaire, irréductible sur $\Q$, de degré $n$) minimal de $\theta$. Il n'y a a priori aucune raison pour que le corps de nombres contienne toutes les racines de $P$, mais, si c'est le cas, on dit que ce corps de nombres est galoisien. Par abus de langage, si $\K$ n'est pas galoisien, on nomme "groupe de Galois" de $\K$ le groupe de Galois de la fermeture galoisienne de $\K$.

{\bf Exemple 1}. Soit $\K$ le corps de nombres obtenu par l'adjonction à $\Q$ d'une racine du polynôme (d'Artin-Schreier, soit sit en passant) $P = X^5 - X - 1$. Le degré de ce corps est donc $5$. Un rapide calcul montre d'ailleurs que sa {\it signature} est $(1,2)$ (ie le couple $(r_1,r_2)$ tel que $r_1$ soit le nombre de racines réelles de $P$, et $r_1 + 2r_2 = n$), ce qui montre a posteriori que ce corps n'est pas galoisien. Le résultat ci-dessus ne s'applique donc pas.

{\bf Exemple 2}. Tout corps quadratique est galoisien, et même abélien.

{\bf Exemple 3}. Soient $a_1,a_2$ des entiers non carrés tels que $a_1a_2$ soit non carré, et $a_3$ défini par $a_1a_2 = a_3 m^2$, où $m$ est le plus grand carré divisant $a_1a_2$. Alors, le {\it corps biquadratique} $\K = \Q \left ( \sqrt {a_1} \, , \, \sqrt {a_2} \right )$ est galoisien de groupe de Galois $\left ( \Z / 2 \Z \right )^2$.

Borde.

manuel

Bon, juste un petit message vite fait en passant (désolé je ne suis pas très actif sur le forum moment), pour remercier Borde de ce sujet agréable, et le saluer au passage.

borde

De rien, Manuel.

A +

Borde.

Mauricio4

Borde : Je crois que tu trouves ça dans Van der Waerden si je ne m'abuse.
Ce que l'on peut dire classiquement c'est que
1. La réduction modulo p donne un sous-groupe du groupe de Galois.
2. Ce sous groupe est distingué si l'extension est galoisienne.

C'est un peu moins fort que ce que tu dis mais c'est aussi plus facile à voir.
Je ne démontre aucune des deux affirmations mais je pense qu'elles sont vraies et que tu n'auras pas de difficulté à les démontrer ou les rejeter au cas où je me serais trompé.
A+,
M.

rere

et donc le nombre d'ideaux premier audessus de p nous donne des information sur la decomposition de P dans Fp[X].


si on regarde Z[a]/(p) pas inerte ca veut dire que c'est pas un corps d'ou

Z[a](p) iso Fp[X]/(P) n'est pas un corps et donc P n'est pas irréductible dans Fp
et reciproquement

le seul truc c'est que je ne pense pas que l'anneau des entiers soit Z[a] et donc ca doit etre plus compliqué a faire

borde

Pour Mauricio,

Merci pour la référence que je ne connaissais pas. La preuve de $p$ inerte dans l'anneau des entiers du corps de nombres {\galoisien} $\K / \Q$ $\Longleftrightarrow$ $Gal(\K / \Q)$ est engendré par le frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$ (avec $\mathfrak {p} \mid p$) est technique, mais bien connue. Elle ne prend que quelques lignes, mais la donner ici supposerait des outils d'algèbre spécifiques qu'il faudrait (re)définir, ce qui pourrait lasser.

Merci de ton intérêt pour ce post.

Pour Rere,

tu dis : "et donc le nombre d'idéaux premiers au-dessus de $p$ nous donne des informations sur la décomposition de $P$ dans $\mathbb {F}_{p} [X]$"

En fait, le théorème de Dedekind que tu sous-entends donne l'implication réciproque (qui est la plus intéressante), et, à ma connaissance, il n'y a pas de réciproque (à confirmer, cependant) : à partir de la décomposition de $P$ dans $\mathbb {F}_{p} [X]$, on en déduit, entre autres, la décomposition de l'idéal $(p)$ (qui, rappelons-le, n'est pas premier en général) en idéaux premiers dans $\Z_{\K}$, ceci à condition que celui-ci soit $p-$maximal, c'est-à-dire que $p \nmid [\Z_{\K} \, : \, \Z[\theta]]$ (et pas seulement $\Z_{\K} = \Z [\theta]$).

En revanche, tu as raison pour ta dernière remarque : en fait, si $p \mid [\Z_{\K} \, : \, \Z[\theta]]$, ce théorème de Dedekind ne s'applique plus complètement, disons, bien qu'il donne quand même la décomposition de $(p)$ en idéaux entiers {\it premiers entre eux}. Pour aller plus loin, on a recours à d'autres méthodes, plus ou moins faciles à mettre en oeuvre, mais, comme disait le très fort G. Gras, "on y arrive toujours"...

Borde.

Thibaut6

Ah, ça fait plaisir de voir des preuves aussi jolies, que leur esthétique suffit à rendre intéressante !
Ce sont des choses qu'on ne voit guère en maths appliquées...

Thibaut

borde

Pour Mauricio,

Merci pour la référence que je ne connaissais pas. La preuve de $p$ inerte dans l'anneau des entiers du corps de nombres {\bf galoisien} $\K / \Q$ $\Longleftrightarrow$ $Gal(\K / \Q)$ est engendré par le frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$ (avec $\mathfrak {p} \mid p$) est technique, mais bien connue. Elle ne prend que quelques lignes, mais la donner ici supposerait des outils d'algèbre spécifiques qu'il faudrait (re)définir, ce qui pourrait lasser.

Merci de ton intérêt pour ce post.

Pour Rere,

tu dis : "et donc le nombre d'idéaux premiers au-dessus de $p$ nous donne des informations sur la décomposition de $P$ dans $\mathbb {F}_{p} [X]$"

En fait, le théorème de Dedekind que tu sous-entends donne l'implication réciproque (qui est la plus intéressante), et, à ma connaissance, il n'y a pas de réciproque (à confirmer, cependant) : à partir de la décomposition de $P$ dans $\mathbb {F}_{p} [X]$, on en déduit, entre autres, la décomposition de l'idéal $(p)$ (qui, rappelons-le, n'est pas premier en général) en idéaux premiers dans $\Z_{\K}$, ceci à condition que celui-ci soit $p-$maximal, c'est-à-dire que $p \nmid [\Z_{\K} \, : \, \Z[\theta]]$ (et pas seulement $\Z_{\K} = \Z [\theta]$).

En revanche, tu as raison pour ta dernière remarque : en fait, si $p \mid [\Z_{\K} \, : \, \Z[\theta]]$, ce théorème de Dedekind ne s'applique plus complètement, disons, bien qu'il donne quand même la décomposition de $(p)$ en idéaux entiers {\it premiers entre eux}. Pour aller plus loin, on a recours à d'autres méthodes, plus ou moins faciles à mettre en oeuvre, mais, comme disait le très fort G. Gras, "on y arrive toujours"...

Borde (correction ayant entraîné un doublon à supprimer. Merci).

YB

Pour Borde, je voudrais bien voir une preuve écrite si ça ne te demande pas trop de travail. Comme rere, je suis pas au clair avec les différences subtiles entre $\Z_K$, $\Z[\theta]$ et $\Z[X]/P$.

rere

Borde est ce que tu pourrais nous donner un exemple explicite de decomposition d'un entier premier en produits d'ideaux premier dans ZK car je vois pas trop comment faire

borde

1. {\bf Pour YB}.

Voici une preuve du résultat suivant : {\it Soit $\K / \Q$ un corps de nombres galoisien de degré $n$, de groupe de Galois noté $G$, et $p$ un nombre premier non ramifié dans $\Z_{\K}$, avec $\mathfrak {p} \mid p$. Alors $p$ est inerte dans $\Z_{\K}$ $\Longleftrightarrow$ $G$ est engendré par le frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}}.


{\it Preuve}.

$\Longrightarrow$. On note $\mathcal {D}_{\mathfrak {p}} le groupe de décomposition associé à $\mathfrak {p}$. Ce groupe est cyclique, car $p$ n'est pas ramifié. Puisque $p$ est inerte, on a $(p) = \mathfrak {p}$, et donc, pour tout $\sigma \in G$, $\sigma (\mathfrak {p}) = \mathfrak {p}$, ce qui signifie que $\mathcal {D}_{\mathfrak {p}} = G$.

$\Longleftarrow$. On écrit d'abord : $$(p) = \left ( \prod_{i=1}^{g} \mathfrak {p}_i \right )^e,$$ et rappelons que, si $f$ est le degré résiduel commun à tous les idéaux premiers $\mathfrak {p}_i$, alors $efg = n$, $\sigma_{\mathfrak {p}}$ est d'ordre $f$ et $(G \, : \, \mathcal {D}_{\mathfrak {p}}) = g$. Ainsi, si $\sigma_{\mathfrak {p}}$ engendre $G$, on a donc $g = 1$ et $f = n$, ce qui entraîne que $e=1$, et donc $p$ est inerte. {\bf CQFD}.

2. {\bf Pour Rere}.

Soit $\K$ le corps cubique pur $\K = \Q(\theta)$ où $\theta = 2^{1/3}$, de polynôme $P = X^3 - 2$. Des manipulations "traditionnelles" montrent que :

1. $\Z_{\K} = \Z [\theta]$.

2. $d_{\K} = - 108 = - 2^2 \times 3^3$, donc seuls $2$ et $3$ se ramifient.

3. $P \equiv (X+2)(X^2 + 3X + 4) \pmod 5$.

Ainsi, la décomposition de l'idéal entier $(5)$ est donné par : $$(5) = \mathfrak {p}_1 \mathfrak {p}_2,$$ avec $\mathfrak {p}_1 = (5,\theta + 2)$ est de degré résiduel $1$, et $\mathfrak {p}_2 = (5, \theta^2 + 3 \theta + 4)$ est de degra résiduel $2$. Autrement dit, $5$ est totalement décomposé dans $\K$.

Si je n'ai pas été satisfaisant, faites-le moi savoir...

Borde.

borde

1. {\bf Pour YB}.

Voici une preuve du résultat suivant : {\it Soit $\K / \Q$ un corps de nombres galoisien de degré $n$, de groupe de Galois $G$, et $p$ un nombre premier dans $\Z_{\K}$, avec $\mathfrak {p} \mid p$. Alors $p$ est inerte dans $\Z_{\K}$ $\Longleftrightarrow$ $G$ est engendré par le frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$}.

{\it Preuve}.

$\Longrightarrow$. On note $\mathcal {D}_{\mathfrak {p}} le groupe de décomposition associé à $\mathfrak {p}$. Ce groupe est cyclique, car $p$ n'est pas ramifié (car inerte). Puisque $p$ est inerte, on a $(p) = \mathfrak {p}$, et donc, pour tout $\sigma \in G$, $\sigma (\mathfrak {p}) = \mathfrak {p}$, ce qui signifie que $\mathcal {D}_{\mathfrak {p}} = G$.

$\Longleftarrow$. On écrit d'abord : $$(p) = \left ( \prod_{i=1}^{g} \mathfrak {p}_i \right )^e,$$ et rappelons que, si $f$ est le degré résiduel commun à tous les idéaux premiers $\mathfrak {p}_i$, alors $efg = n$, $\sigma_{\mathfrak {p}}$ est d'ordre $f$ et $(G \, : \, \mathcal {D}_{\mathfrak {p}}) = g$. Ainsi, si $\sigma_{\mathfrak {p}}$ engendre $G$, on a donc $g = 1$ et $f = n$, ce qui entraîne que $e=1$, et donc $p$ est inerte. {\bf CQFD}.


2. {\bf Pour Rere}.

Soit $\K$ le corps cubique pur $\K = \Q(\theta)$ où $\theta = 2^{1/3}$, de polynôme $P = X^3 - 2$. Des manipulations "traditionnelles" montrent que :

1. $\Z_{\K} = \Z [\theta]$.

2. $d_{\K} = - 108 = - 2^2 \times 3^3$, donc seuls $2$ et $3$ se ramifient.

3. $P \equiv (X+2)(X^2 + 3X + 4) \pmod 5$.

Ainsi, la décomposition de l'idéal entier $(5)$ est donné par : $$(5) = \mathfrak {p}_1 \mathfrak {p}_2,$$ avec $\mathfrak {p}_1 = (5,\theta + 2)$ est de degré résiduel $1$, et $\mathfrak {p}_2 = (5, \theta^2 + 3 \theta + 4)$ est de degré résiduel $2$. Autrement dit, $5$ est totalement décomposé dans $\K$.

Si je n'ai pas été satisfaisant, faites-le moi savoir...

Borde.

borde

1. {\bf Pour YB}.

Voici une preuve du résultat suivant : {\it Soit $\K / \Q$ un corps de nombres galoisien de degré $n$, de groupe de Galois $G$, et $p$ un nombre premier dans $\Z_{\K}$, avec $\mathfrak {p} \mid p$. Alors $p$ est inerte dans $\Z_{\K}$ $\Longleftrightarrow$ $G$ est engendré par le frobénius $\sigma_{\mathfrak {p}}$}.

{\it Preuve}.

$\Longrightarrow$. On note $\mathcal {D}_{\mathfrak {p}}$ le groupe de décomposition associé à $\mathfrak {p}$. Ce groupe est cyclique, car $p$ n'est pas ramifié (car inerte). Puisque $p$ est inerte, on a $(p) = \mathfrak {p}$, et donc, pour tout $\sigma \in G$, $\sigma (\mathfrak {p}) = \mathfrak {p}$, ce qui signifie que $\mathcal {D}_{\mathfrak {p}} = G$.

$\Longleftarrow$. On écrit d'abord : $$(p) = \left ( \prod_{i=1}^{g} \mathfrak {p}_i \right )^e,$$ et rappelons que, si $f$ est le degré résiduel commun à tous les idéaux premiers $\mathfrak {p}_i$, alors $efg = n$, $\sigma_{\mathfrak {p}}$ est d'ordre $f$ et $(G \, : \, \mathcal {D}_{\mathfrak {p}}) = g$. Ainsi, si $\sigma_{\mathfrak {p}}$ engendre $G$, on a donc $g = 1$ et $f = n$, ce qui entraîne que $e=1$, et donc $p$ est inerte. {\bf CQFD}.


2. {\bf Pour Rere}.

Soit $\K$ le corps cubique pur $\K = \Q(\theta)$ où $\theta = 2^{1/3}$, de polynôme $P = X^3 - 2$. Des manipulations "traditionnelles" montrent que :

1. $\Z_{\K} = \Z [\theta]$.

2. $d_{\K} = - 108 = - 2^2 \times 3^3$, donc seuls $2$ et $3$ se ramifient.

3. $P \equiv (X+2)(X^2 + 3X + 4) \pmod 5$.

Ainsi, la décomposition de l'idéal entier $(5)$ est donnée par : $$(5) = \mathfrak {p}_1 \mathfrak {p}_2,$$ avec $\mathfrak {p}_1 = (5,\theta + 2)$ est de degré résiduel $1$, et $\mathfrak {p}_2 = (5, \theta^2 + 3 \theta + 4)$ est de degré résiduel $2$. Autrement dit, $5$ est totalement décomposé dans $\K$.

Si je n'ai pas été satisfaisant, faites-le moi savoir...

Borde.

patisserie

en tout cas c pas de la tarte.... atin ! muahahahah

bon ok je sors

t-mouss (désolé pour la blague de merde mais g pas pu m'empecher)

borde

Une bonne blague ne fait jamais de mal...

A +

Borde.

rere

merci Borde

borde

De rien, Rere. Si tu as d'autres questions...

Borde.

omar2

Bonjour,

Avec un peu de retard (en déplacement) , merci pour votre réponse Borde.
Effectivement, il y avait malentendu. Pour moi une extension galoisienne, finie, n'est qu'un corps de décomposition d'un polynôme $f$, même si ce polynôme n'est pas le polynôme minimal d'un élément primitif.

On peut alors préciser, à l'aide de tels arguments, la présence dans le groupe de galois, de cycle d'ordre $n$, si $f$ (de degré $n$) reste irréductible dans un $\Z/p\Z[X]$ ($f$ bien sûr irréductible, unitaire à coefficients dans $\Z$).

Amicalement

borde

Le tout est de bien recadrer les choses, ce qui n'est pas facile sur un forum, surtout, comme dans ce fil, lorsque que le niveau du sujet est assez élevé....Et j'avoue avoir eu du mal à saisir ce qui te gênait, car chacun sait ici combien tu es pointu en algèbre.

Pour la dernière partie de ton message, j'imagine que, comme moi, tu utilises le théorème suivant, dû (encore !) à Dedekind :

{\it Soit $P \in \Z[X]$, $p$ un nombre premier tel que $p \nmid disc(P)$, et l'on suppose que, dans $\mathbb {F}_{p} [X]$, on ait $\displaystyle {\overline {P}(X) = \prod_{i=1}^{g} \overline {P}_i^{e_i}(X)}$, où les $\overline {P}_i$ sont irréductibles sur $\mathbb {F}_{p}$. Alors,
$Gal(P / \Q)$ contient une permutation qui est le produit de cycles disjoints de longueurs $\deg P_i$}.

Ce résultat permet parfois de déterminer le groupe de Galois de $P$.

Borde.

omar2

Oui, c'est effectivement ce résultat que j'avais en tête lorsque j'ai lu ton premier post sur le sujet, et qui m'a fait douter au début.

Merci encore Borde pour toutes les informations que tu apportes sur ce forum. Je suis loin d'être, comme tu le dis, pointu en algèbre, juste quelques connaissances que j'essaie toujours d'élargir.

Omar

Toto.le.zero

Docteur Borde, expert ès Théorie des nombres. A chacun de tes posts je suis époustouflé.

Mauricio4

Borde : Je pense que le résultat que tu as donné, Dedekind se trouve implicitement dans Galois. Comme sa définition du groupe est différente (si je me souviens ce sont les invariants d'une résolvante, cf page 3 du mémoire) du coup la propriété doit être immédiate (à vérifier). C'est un collègue de Mainz qui m'avait fait cette remarque après un cours.
M.