Khôlle pour une longue nuit d'hiver

dans Analyse
Bonsoir,
Calculer la dérivée énième de $e^{x \sqrt 3} \sin x$.
Demain est un autre jour,
Calculer la dérivée énième de $e^{x \sqrt 3} \sin x$.
Demain est un autre jour,
Des robots dotés d'algorithmes de bêtise artificielle pourraient participer aux élections.
Réponses
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$D^n (e^{ax} \sin x) =: e^{ax}f_n(x)$, où $f_n$ suit la récurrence $f_0=\sin$, et $f_{n+1} = af_n+f_n'$. Donc $f_n$ est une combinaison linéaire de $\sin$ et de ses dérivées, c'est-à-dire $\sin$ et $\cos$. Soient $p_n$ et $q_n$ (dépendants de $a$) tels que $f_n=p_n \cos+q_n\sin$. La récurrence donne : $p_0=0$, $q_0=1$, $p_{n+1}=ap_n+q_n$, et $q_{n+1} = -p_n+aq_n$, soit : $$\begin{pmatrix}p_{n+1}\\q_{n+1}\end{pmatrix}= \underbrace{\begin{pmatrix}a&1\\-1 & a \end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}p_{n}\\ q_{n}\end{pmatrix},\qquad \mathrm{donc} \;\begin{pmatrix}p_{n}\\q_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$A partir de là, on peut calculer $A^n$ en remarquant que $A=a\,\mathbb{I} + \mathbb{J}$ où $\mathbb{J}^2=-1$ et en utilisant la formule du binôme. On peut aussi dire que $A$ est la matrice d'une similitude de rapport $r=\sqrt{1+a^2}$ et d'angle $\theta=\arctan(-1/a)$. Pour $a=\sqrt{3}$, ça tombe très bien puisqu'alors $r=2$ et $\theta=-\pi/6$, et donc $\not{A^3=-8\mathbb{I}}$ (le lendemain : $A^6=-64 \mathbb{I}$ !), ce qui devrait donner des formules simples pour $f_{3n}$, $f_{3n+1}$, et $f_{3n+2}$, mais assez infectes pour $f_n$ en général (pas essayé d'aller plus loin).Après je bloque.
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Autre attaque.Soit $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R}$, soit $u(x)=e^{ax}\cos bx$ et $v(x)=e^{ax}\sin bx$, et enfin : $f(x)=u(x)+iv(x)=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)=e^{(a+ib)x}$.Alors $f^{(n)}(x)=(a+ib)^{n}e^{(a+ib)x}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}i^{k}b^{k}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)$
$~~~~~~~~=(\sum_{k=0}^{n}i^{k}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k})e^{ax}\cos bx+(\sum_{k=0}^{n} i^{k+1} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k})e^{ax}\sin bx$.Par suite : $v^{(n)}(x)=\Im f^{(n)}(x)$$=(\sum_{h=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2}\right\rfloor } (-1)^{h} \binom{n}{2h+1}a^{n-2h-1}b^{2h+1})e^{ax}\cos bx+(\sum_{\ell =0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor } (-1)^{\ell } \binom{n}{2\ell } a^{n-2\ell }b^{2\ell
})e^{ax}\sin bx$. -
$(a+ib)=\rho e^{ i\theta}$ d'où $ f{(n)}(x)= \rho^n e^{ni\theta} e^{(a+ib)x}$
ici la dérivée nieme est $ 2^n e^{x\sqrt3} sin( n\pi/6 +x)$ -
On peut le faire sans passer par les complexes
$\sqrt 3 = \tan \pi/3$, de sorte que $y' = e^{x\sqrt 3}/(\cos \pi/3) \times (\sin \pi/3 \sin x + \cos \pi/3 \cos x)$
$y' = 2e^{x\sqrt 3} \sin (\pi/6 + x)$
Par réitération du procédé, on obtient $y'' = 4e^{x\sqrt 3} \sin (\pi/6 + \pi/6 + x)$ ; etc.
Par rétropédalage, on obtient la primitive de la fonction donnée
$\int ydx = e^{x\sqrt 3} \sin (- \pi/6 + x)/2 + K$.
On peut généraliser à $e^{ax} \sin x$ en remplaçant $\pi/3$ par $\tan^{-1} a$.Des robots dotés d'algorithmes de bêtise artificielle pourraient participer aux élections. -
Ah oui, effectivement, une combinaison linéaire de $\sin x$ et $\cos x$ peut s'écrire sous la forme $\lambda \sin (x+\varphi)$. Complètement oublié... Le résultat avec une forme simple finalement.
Après je bloque. -
On peut aussi calculer bestialement $y', y'', ...$ et constater que $y^{(6)} = -64y$.Des robots dotés d'algorithmes de bêtise artificielle pourraient participer aux élections.
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