Passage à la limite - Intégrale stochastique

Bonjour,
Soient $M$ et $N$ deux martingales locales continues issues de $0$ bornées dans $L^2$.
Soient $H$ et $K$ deux processus progressifs tels que $\int_0^{\infty} H_s^2 d \langle M \rangle_s < \infty$ et $\int_0^{\infty} K_s^2 d \langle N \rangle_s < \infty$.
Soient deux temps d'arrêt $S$ et $T$. Le but de mon exercice est de montrer que :
$$\mathbb{E} \left( \left(\int_{0}^S H_s dM_s \right) \left(\int_{0}^T K_s dN_s \right) \right) = \mathbb{E} \left(\int_{0}^{S \wedge T} H_s K_s d \langle M,N \rangle_s \right)$$
Je sais déjà que cette égalité est vraie si $S$ et $T$ sont bornés (via des exercices précédents). Ainsi, je souhaite user de l'égalité dans le cas où $S$ et $T$ sont bornés afin de démontrer l'égalité dans le cas général : on a pour tout $t \geq 0$ :
$$\mathbb{E} \left( \left(\int_{0}^{S\wedge t} H_s dM_s \right) \left(\int_{0}^{T \wedge t} K_s dN_s\right)\right) = \mathbb{E} \left(\int_{0}^{S \wedge T \wedge t} H_s K_s d \langle M,N \rangle_s \right)$$
Il reste à passer à la limite $t \rightarrow \infty$. Le terme de droite ne me pose pas de difficulté.
En revanche, je n'arrive pas à appliquer la convergence dominée pour passer à la limite dans le terme de gauche. En effet $(\int_{0}^{S\wedge t} H_s dM_s ) (\int_{0}^{T \wedge t} K_s dN_s)$ converge presque sûrement vers $(\int_{0}^{S} H_s dM_s ) (\int_{0}^{T} K_s dN_s)$ mais je ne vois pas comment dominer par quelque chose d'intégrable.

Comment faire ?
Merci par avance.




Réponses

  • Je n'ai plus fait ça depuis 15 ans, je ne me souviens même plus des notations :/
    Mais ne pourrais-tu pas t'en sortir en prouvant que chacune des intégrales du produit converge dans $\mathrm{L}^2$ ?
  • Tony Schwarzer
    Modifié (4 Feb)
    @rebellin j'imagine que c'est ce qu'il faut faire, mais je pense que je rate quelque chose.
    En effet, notons $X_t$ l'intégrale de gauche dans le produit et $Y_t$ celle de droite. Je suis d'accord qu'on a par inégalité triangulaire :
    $$|X_t Y_t - XY| \leq |Y| |X-X_t| + |X_t| |Y-Y_t|$$
    Ainsi en appliquant Cauchy-Schwarz et en montrant ce que tu as dit, on pourrait conclure, si tant est que $(X_t)$ soit borné dans $L^2$, mais je ne vois même pas comment le montrer. C'est pour ça que je crois que je manque quelque chose.
  • Tony Schwarzer
    Modifié (4 Feb)
    Bref, j'ai vraiment du mal à comprendre les intégrales stochastiques. Dommage qu'il y ait si peu de probabilistes sur le serveur.
  • Je bloque toujours sur cette égalité au passage.
  • Ce que je voulais dire (mais peut-être que je me trompe, je ne sais même plus la définition), c'est que l'intégrale $\int_0^{S}H_sdM_s$ serait la limite dans $\mathrm{L}^2$ de $\int_0^{S\wedge t}H_sdM_s.$ Idem pour $\int_0^T K_sdN_s.$ On pourrait alors conclure à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    (Donc on n'utiliserait pas la convergence presque sûre, mais la convergence $\mathrm{L}^2,$ suffisante pour calculer la limite de l'espérance.)
  • Oui, j'ai bien compris et c'est ce que j'ai écrit dans mon message du 4 février, non ?
  • Ah oui, désolé, je ne sais pas pourquoi, je n'ai pas vu ce message. La bornitude dans $\mathrm{L}^2$ ne découle-t-elle pas des hypothèses faites sur les processus ?
  • Je pense que oui mais justement je n'arrive pas à le montrer.
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