Convergence faible

dans Topologie
Bonsoir,
Si je me place sur $H$ l'espace vectoriel des suites de carré sommable que je munis du produit scalaire usuel, j'aimerais montrer que de toute suite bornée de $H$ je peux extraire une sous suite qui converge faiblement (pour le produit scalaire usuel).
Je ne crois pas qu'une extraction diagonale permette de conclure
Si je me place sur $H$ l'espace vectoriel des suites de carré sommable que je munis du produit scalaire usuel, j'aimerais montrer que de toute suite bornée de $H$ je peux extraire une sous suite qui converge faiblement (pour le produit scalaire usuel).
Je ne crois pas qu'une extraction diagonale permette de conclure
Réponses
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Tu peux conclure avec Banach-Alaoglu, le fait que dans un Hilbert, en tant que dual de lui-même, la topologie faible et la topologie faible-$*$ sont égales, et que la compacité et la compacité séquentielle sont équivalentes pour des trucs séparables.
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Zebilamouche a dit :Je ne crois pas qu'une extraction diagonale permette de conclure
Je note $\ell^2$ au lieu de $H$ (c'est la notation usuelle). En résumé si $(x_n)$ est une suite bornée de $\ell^2$, il faut considérer une suite $(a_n)$ telle que $D:=\{a_n\mid n\in \N\}$ soit dense dans $\ell^2$ et appliquer l'extraction diagonale sur $(\langle x_n, a_m \rangle)_{n,m}$. On obtient une sous-suite $(x_{\phi(n)})$ telle que $(\langle x_{\phi(n)}, a \rangle)_n$ converge pour tout $a\in D$. Pour finir tu utilises la densité de $D$ pour montrer que $(\langle x_{\phi(n)}, y \rangle)_n$ converge pour tout $y\in \ell^2$ en vérifiant que $(\langle x_{\phi(n)}, y \rangle)_n$ est de Cauchy.
PS : comme dit Georges ci-dessus, c'est Banach-Alaoglu -
Pour moi c'est une question du cours,
en cours on démontre que $\ell²$ est reflexif
en cours, on démontre de toute suite bornée d'un espace réflexif on peut extraire une sous-suite faiblement convergenteLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Ah oui donc c’est clairement pas du niveau prepa
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Bonjour, @Zebilamouche la démonstration de raoul.S est du niveau prépa je pense. Et pour sa démo quand il dit $D$ dense je crois qu'il faut comprendre $Vect(D)$ est dense. Les autres messages sont des généralisations pour les espaces de Banach avec certaines propriétés (que $l^2$ vérifie). Il y a un $D$ "canonique" sur lequel tu peux faire la démo.
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@Zebilamouche Du coup, tu as sorti l'énoncé d'où ?
En feuilletant rapidement, ça semble être fait dans les Oraux X-ENS tome de topologie et dans les problèmes de Gourdon. -
Apres concertation c’est un exo tombé à ULM en 2022
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