Connexité après soustraction
Bonjour,
Soit $E$ un ensemble, et $T_1$ et $T_2$ deux topologies sur $E$ qui en font un espace topologique séparé (c'est-à-dire $(E,T_1)$ est séparé et $(E,T_2)$ est séparé). On suppose que pour tout $X \subset E$, $E \setminus X$ est connexe pour la topologie induite par $T_1$ si et seulement si $E \setminus X$ est connexe pour la topologie induite par $T_2$. Est-ce que nécessairement $T_1=T_2$ ?
Merci.
Soit $E$ un ensemble, et $T_1$ et $T_2$ deux topologies sur $E$ qui en font un espace topologique séparé (c'est-à-dire $(E,T_1)$ est séparé et $(E,T_2)$ est séparé). On suppose que pour tout $X \subset E$, $E \setminus X$ est connexe pour la topologie induite par $T_1$ si et seulement si $E \setminus X$ est connexe pour la topologie induite par $T_2$. Est-ce que nécessairement $T_1=T_2$ ?
Merci.
Réponses
-
Il me semble que c'est faux si on choisit $E=\Q$, et $T_1$ la topologie de l'ordre habituelle sur $\Q$, et $T_2$ la topologie de l'ordre où on a échangé $0$ et $1$.
Alors si $X$ est de la forme $\Q \setminus \{a\}$, $E \setminus X$ est connexe pour les deux topologies.
Si non $E \setminus X$ n'est pas connexe. -
On peut penser à des espaces topologiques "totalement disontinus" (i.e. dont les seules parties connexes sont des singletons).$\R \backslash \Q$ (mais également $\Q$) est totalement disontinu pour la topologie usuelle de l'ordre, mais aussi pour la topologie discrète et ce ne sont pas les mêmes.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres