Connexité après soustraction

Bonjour,
Soit $E$ un ensemble, et $T_1$ et $T_2$ deux topologies sur $E$ qui en font un espace topologique séparé (c'est-à-dire $(E,T_1)$ est séparé et $(E,T_2)$ est séparé). On suppose que pour tout $X \subset E$, $E \setminus X$ est connexe pour la topologie induite par $T_1$ si et seulement si $E \setminus X$ est connexe pour la topologie induite par $T_2$. Est-ce que nécessairement $T_1=T_2$ ?
Merci.

Réponses

  • marco
    Modifié (2 Feb)
    Il me semble que c'est faux si on choisit $E=\Q$, et $T_1$ la topologie de l'ordre habituelle sur $\Q$, et $T_2$ la topologie de l'ordre où on a échangé $0$ et $1$. 
    Alors si $X$ est de la forme $\Q \setminus \{a\}$, $E \setminus X$ est connexe pour les deux topologies.
    Si non $E \setminus X$ n'est pas connexe.
  • On peut penser à des espaces topologiques "totalement disontinus" (i.e. dont les seules parties connexes sont des singletons).
    $\R \backslash \Q$ (mais également $\Q$) est totalement disontinu pour la topologie usuelle de l'ordre, mais aussi pour la topologie discrète et ce ne sont pas les mêmes.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci @Foys .
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