Suites de Beatty, série d'inverses de nombres premiers

Calembour
Modifié (2 Feb) dans Arithmétique
On sait tous que la série des inverses des nombres premiers est divergente $\sum_{p \in \mathbb{P}} \frac{1}{p}$, mais que se passe-t-il s'il on ne prend pas tous les nombres premiers mais seulement quelques-uns ?

Voici une perspective autour des suites de Beatty : On rappelle que si $x > 1$ est un nombre irrationnel, on définit sa suite de Beatty par $\lfloor x \rfloor$, $\lfloor 2x \rfloor$, $\lfloor 3x \rfloor$, ...

Si un nombre premier $p$ satisfait $ \{ \frac{1}{x} p \} > 1 - \frac{1}{x}$ alors il est de la forme $\lfloor nx \rfloor$. Un résultat usuel est que la suite de nombres $\{n x \}$ est équidistribuée dans $[0,1]$ pour $n$ parcourant les entiers naturels mais ce résultat est encore vrai pour la suite $\{ px \}$ où $p$ parcourt l'ensemble des nombres premiers.
Ce dernier résultat nous permet de conclure que, pour tout nombre irrationnel $x >1$ il existe une infinité de nombres premiers de la forme $\lfloor nx \rfloor$ (il existe une infinité de nombres premiers dans la suite de Beatty associée à $x$).

Ma question intervient ici, posons donc l'ensemble $B_{\mathbb{P}} (x) = \{ \lfloor nx \rfloor,  \lfloor nx \rfloor \in \mathbb{P} \} \subset \mathbb{P}$, on sait que cet ensemble est infini d'après la remarque ci-dessus. Dans ce cas, que pouvons nous dire sur la convergence de la série : 
$$\mathrm{B}(x) = \sum_{q \in B_{\mathbb{P}}(x) } \frac{1}{q} $$

(Série des inverses des nombres premiers dans la suite de Beatty associée à $x$)

Est-ce que cette série, à l'instar de la série des inverses des nombres premiers, va continuer à diverger quelque soit le nombre irrationnel $x$ pris ? Est-ce qu'elle va converger pour tout $x$ ? Est-ce qu'elle peut diverger ou converger selon le $x$ choisi, mais dans ce cas, que pouvons-nous dire des $x$ pour lesquels cette série va converger par exemple ?

Cordialement,
Calembour

Réponses

  • Ce dernier résultat nous permet de conclure que, pour tout nombre irrationnel $x>1$ il existe une infinité de nombres premiers de la forme $\lfloor nx \rfloor$
    Ah ?
    Le résultat est peut-être vrai, mais le lien avec le résultat précédent paraît 'rapide'.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • lourrran a dit :
    Ce dernier résultat nous permet de conclure que, pour tout nombre irrationnel $x>1$ il existe une infinité de nombres premiers de la forme $\lfloor nx \rfloor$
    Ah ?
    Le résultat est peut-être vrai, mais le lien avec le résultat précédent paraît 'rapide'.

    Si $\{ \frac{1}{x} p \} > 1 - \frac{1}{x} $ et si on pose $n$ la partie entière supérieure de $\frac{p}{x}$ alors : 

    $xn \ge x \frac{p}{x} = p$ et $ x n < x \left( \frac{p}{x} + \frac{1}{x} \right) = p + 1$

    Donc $\lfloor nx \rfloor = p$. Donc $p$ est bien de cette forme.

    Comme $\{p \frac{1}{x} \}$ est dense dans $[0,1]$ (pour $p$ parcourant les nombres premiers), on peut trouver une infinité de nombre premiers vérifiant la condition $\{ \frac{1}{x} p \} > 1 - \frac{1}{x}$ et donc une infinité de nombres premiers de la forme $\lfloor nx \rfloor$.
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