Pappus et commutativité
Bonjour,
J'essaie de m'approprier un théorème et une démonstration en les réécrivant sans regarder le modèle:
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Théorème : on considère un corps $K$ non nécessairement commutatif. Comme le livre que j'ai lu est en anglais, on parle de skew field. On se place dans un plan projectif $P$ où l'on considère deux droites projectives $d$ et $d'$. Six points distincts $A,B,C\in d,\, A',B',C'\in d'$ quelconques étant pris $I\doteq AB'\cap A'B,\, J\doteq BC'\cap B'C,\,K\doteq CA'\cap C'A$ sont systématiquement alignés ssi $K$ est commutatif.
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Voici ce que j'ai retenu de la démonstration :
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Son auteur commence par rappeler sans démonstration que dans un plan affine deux points de coordonnées $x$ et $y$ pour le premier et $x'$ et $y'$ pour le second sont alignés avec l'origine du repère ssi $x^{-1}y=x'^{-1}y'\color{red}(*)$.
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Comme je n'ai peut-être jamais envisagé de faire de la géométrie dans un corps non commutatif, je propose la démonstration suivante :
$$(x',y')=k(x,y)\iff \begin{cases}x'=kx\\y'=ky\end{cases}\iff \begin{cases}x'x^{-1}=k\\y'=ky\end{cases}\iff x^{-1}y=x'^{-1}y'.\square$$
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Puis en notant $U\doteq d\cap d'$, il choisit comme, repère projectif $(I,C,C',U)$ de point-unité $U$.
Il envoie ensuite la droite $D=CC'$ à l'infini et travaille dans le plan affine $P\setminus D$, ce qui m'est d'abord apparu comme un tour de passe-passe mais semble tenir la route :

Dans ce plan $U=(1,1),\,d:y=1,\,d':x=1,\, A=(a,1),\, B=(b,1),\,A'=(1,a'),\, B'=(1,b')$
D'après $\color{red}(*)\color{black}, A, B' \text{ et }I$ étant alignés, $b'=a^{-1}$
De même, $a'=b^{-1}$
Or, $J=(b,b')$ et $K=(a,a')$
Donc $I,J,K $ systématiquement alignés ssi $b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ ssi $ba=ab$ ssi $K$ commutatif. $\square$
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Je répète que je fais cette démo de mémoire. J'ai toujours un petit doute concernant la validité des coordonnées dans le plan affine. Peut-on simplifier la démonstration par exemple en évitant le recours à l'envoi de $CC'$ à l'infini ?
Bref, qu'en pensez-vous ? Y-a-t-il des manques, des imprécisions ...?
Cordialement.
Réponses
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Si l'idée d'envoyer une droite à l'infini passe pour un tour de passe-passe, c'est qu'il y a quelque chose à éclaircir. Comment fait-on précisément ? (Je suppose que c'est un avatar de la base incomplète.)
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Soit $D$ la droite projective $CC'$. Le plan projectif $P$ privé de $D$ est un plan affine, celui illustré par l'illustration fournie ci-dessus.
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Si j'ai bien compris,On a choisi une base $\vec I$ de $I$, une base $\vec C$ de $C$, $\vec C'$ de $C'$ de telle sorte que $$\vec U=\vec I+1\vec C+1\vec C'$$Autrement dit, $\vec U(1,1)$ dans le plan affine qui nous intéresse. Dans cette base du plan affine, on a bien $$d:y=1, d':x=1$$
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$\mathbb Z/2\mathbb Z$ est commutatif. Donc le théorème de Pappus est valable dans le plan de Fano. Quelqu'un s'est-il déjà penché sur l'illustration du théorème de Pappus dans le plan de Fano ?
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Notations : $a_1$, $a_2$, $a_3$ sur une droite, $b_1$, $b_2$, $b_3$ sur une autre ; $p=a_2b_3\cap a_3b_2$, $q=a_1b_3\cap a_3b_1$ et $r=a_2b_3\cap a_3b_2$ ; il s'agit de montrer que $p$, $q$ et $r$ sont alignés.Difficile de trouver deux droites avec trois points sur chaque droite sans qu'il y ait quelque redondance...On peut prendre $a_1=b_1$ (prendre $a_1=b_2$ interdit de parler de la droite $a_1b_2$), auquel cas deux des trois points sont confondus avec celui-ci : $q=r=a_1=b_1$. Vu que ce point aux multiples étiquettes est « aligné » avec tous les points, la conclusion est sans intérêt.
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Peut-être plus intéressant dans $\mathbb Z/3\mathbb Z\mathrm P^2$?
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