Agrégation interne 2025, première épreuve écrite, algèbre
Réponses
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gai requin a dit :Rappel pour @OShine : Pour tout corps $k$, tout polynôme de $k[X]$ admet une décomposition essentiellement unique en facteurs irréductibles unitaires à un facteur inversible près.C’est un résultat basique bien évidemment au programme de l’agreg interne !
Je ne savais pas qu'on pouvait utiliser ce résultat.
Avec le résultat et la preuve de JLT la question est expédiée en 2 lignes. -
troisqua a dit :@Oshine : la caractéristique nulle c'est pour ta question concernant $\mu$ et $\mu'$ pas pour la division euclidienne. Fais un effort ! (indice: il y a un $\frac{1}{r}$ dans mon identité de Bézout)Quelqu'un qui prétend passer l'interne doit être en mesure d'en comprendre des corrigés même si ceux-ci sortent un peu des sentiers battus. Tu demandes des détails tellement pas au niveau de l'épreuve à laquelle tu veux te confronter que c'est ridicule et inefficace au possible. Pourquoi essaies-tu de faire des choses à ce point hors de ta portée ? Ça te ne sert à rien, à part te ramener à la dure réalité que tu n'as pas le niveau. C'est du masochisme ou un problème d'égo tellement important qu'il te rend aveugle sur tes capacités actuelles, ou bien c'est un mélange de ces deux aspects.
Il y a plein de questions que je sais faire dans la suite du sujet.
Mais cette question 13 m'a posé d'importantes difficultés.
Normalement, je vais pouvoir avancer rapidement maintenant car je vois plein de choses que je sais faire Q14 et Q15A.a, Q15A.b.
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OShine a dit :gai requin a dit :Rappel pour @OShine : Pour tout corps $k$, tout polynôme de $k[X]$ admet une décomposition essentiellement unique en facteurs irréductibles unitaires à un facteur inversible près.C’est un résultat basique bien évidemment au programme de l’agreg interne !
Je ne savais pas qu'on pouvait utiliser ce résultat.
Avec le résultat et la preuve de JLT la question est expédiée en 2 lignes.
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OShine a dit :Dans quel corps ?
Encore faut-il justifier que $\mu_A$ s'écrit en produit de facteurs irréductibles unitaires dans $\R$, $\Q$ et $\C$...
Tu te focalises trop sur la question du corps : en caractéristique nulle, $X^n-1$ est à racines simples dans son corps de décomposition, et il n'y a pas besoin de faire une disjonction de cas -
@OShine : tu vois des choses que tu penses être capable de faire mais en fait tu ne les comprends jamais vraiment. Tu vis dans une illusion concernant ton niveau. L'exemple de la réponse de JLT que tu penses maîtriser en est la preuve typique. Tu lis son corrigé mais tu n'as pas vu qu'il utilise implicitement une hypothèse forte sur le corps $K$. C'est à ça qu'on voit que tu n'as pas le niveau de cette épreuve. Tu lis des calculs qui s'enchaînent mais tu ne comprends pas le fond. Dès que je te pose une question simple concernant sa preuve, tu te rends compte que rien n'est clair pour toi. Tu distribues des points aux gens qui proposent des solutions mais tu es incapable de juger correctement. Tu n'as déjà pas conscience de ton propre niveau. Conseil : chercher des épreuves à son niveau.
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@ troisqua modères tes propos, il fait comme il peut, tous les agrégatifs ne sont pas des torches....
N'est on pas en tant que Profs censé encourager nos élèves..
Fais pareil, encourage l'élève Oshine....
OJ -
Justement O'Shine n'est pas un élève (même si son attitude est pour le moins éclairante, car des élèves qui font des maths comme O'Shine on en a et on en aura), mais un prof. C'est sidérant qu'il puisse continuer à monopoliser à lui tout seul une grande partie du forum ; je me demande pourquoi l'on continue à faire preuve d'une telle patience envers lui.D'ailleurs, sur le fond, sachant que l'épreuve 2 est (pour l'instant) reportée, et que quoi qu'il en soit, les oraux ne sont pas passés, corriger une épreuve n'est pas vraiment opportun. En tant que candidat, j'aurais détesté lire un corrigé d'une épreuve terminée en attendant la second (et encore plus dans les circonstances actuelles, où l'on ne sait ni si ni quand).
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@ojsanssimpson : j'ai modéré mes propos en expliquant à Oshine qu'il n'a pas le niveau qu'il croît. Les agrégatifs qui préparent le concours n'ont pas tous un excellent niveau c'est certain, mais ils n'ont pas non plus la prétention/aveuglement d'Oshine . Ce n'est pas pour rien qu'il est le seul sur ce forum à qui l'on doive faire ce genre de remarques (après avoir répondu gentiment à des dizaines de questions).Et si j'avais un élève (ce qui n'est pas le cas d'OShine) et s'il bossait des sujets d'agrégation avec un niveau de raisonnement faible et de compréhension lente des objets, je lui dirais de travailler des sujets de son niveau (avec moins de concepts et d'objets abstraits) pour améliorer rédaction/intuition/raisonnement. Je pense que c'est un bon conseil, ni méchant ni rabaissant mais éclairant je l'espère.
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SchumiSutil a dit :Justement O'Shine n'est pas un élève (même si son attitude est pour le moins éclairante, car des élèves qui font des maths comme O'Shine on en a et on en aura), mais un prof. C'est sidérant qu'il puisse continuer à monopoliser à lui tout seul une grande partie du forum ; je me demande pourquoi l'on continue à faire preuve d'une telle patience envers lui.D'ailleurs, sur le fond, sachant que l'épreuve 2 est (pour l'instant) reportée, et que quoi qu'il en soit, les oraux ne sont pas passés, corriger une épreuve n'est pas vraiment opportun. En tant que candidat, j'aurais détesté lire un corrigé d'une épreuve terminée en attendant la second (et encore plus dans les circonstances actuelles, où l'on ne sait ni si ni quand).
Le deuxième paragraphe c'est de la mauvaise foi
Personne force personne à lire ce sujet et Phil Caldero lui aussi est revenu sur cette épreuve. Iras tu dans les commentaires de ses vidéos dire que ça n'est pas "opportun" de les sortir maintenant? -
@troisqua
J'ai conscience de mon incompréhension profonde de la question 13, c'est ce que j'ai dit dès le départ quand j'ai vu la question.
Je connais mes lacunes. Et ces questions où on donne différents corps, où le fait de changer de corps change la réponse à la question, je suis toujours en difficulté.
Mais la 14 par exemple c'est une question de calcul et je sais la traiter.
Pour la question 15 j'ai une bonne compréhension des concepts qui y sont développés je pense. Pareil pour la 16.
Je ne maîtrise pas tout le programme, mais quelques éléments du programme.
@Etienne91
Tu dis que je me focalise mais c'est parce que tu as un recul sur le sujet et pas moi. Je focalise sur les notions qui me posent problème.
Je ne connais pas la notion de corps de décomposition. -
Tout est affaire de décor
Changer de lit changer de corps
A quoi bon puisque c'est encor
Moi qui moi-même me trahis
Moi qui me traîne et m'éparpille
Et mon ombre se déshabille
Dans les bras semblables des filles
Où j'ai cru trouver un pays.
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gai requin a dit :@gram : On peut supposer que cette racine double $z$ n’est pas rationnelle.$z$ est cependant algébrique de polynôme minimal $\mu$ qui divise $P$.
Dans $\Q[X]$, on écrit $P=\mu^{\alpha}R$ avec $\mu$ et $R$ premiers entre eux.
Mézalor $z$ est de multiplicité $\alpha$ donc $\alpha=2$ et $\deg\mu=2$ donc $\deg R=1$.
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@gram : Niveau sup, $\mu$ est le facteur irréductible de $P$ tel que $\mu(z)=0$.$\mu$ et $\mu’$ sont premiers entre eux donc $z$ est racine simple de $\mu$ et on conclut comme dans le message que tu as recopié.
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troisqua a dit :Non elle ne l'est pas il manque l'argument de plonger $K$ dans $\C$ (qui est évident pour JLT mais visiblement pas pour toi). Tu ne peux pas échapper à un moment à un argument portant sur la caractéristique (ce qui est fait implicitement en plongeant $K$ dans $\C$ pour $K\in \{\Q;\R;\C\}$)
@troisqua
Je reviens sur cette preuve pour être sûr que j'ai compris le détail sur les corps. Je détaille tout.
Soit $\mathbb{K} \in \{ \Q, \R, \C \}$. Donc $\mathbb{K} \subset \C$. On plonge donc $\mathbb{K}$ dans $\C$.
Soit $\mu_A=\prod_{i=1}^q P_i^{\alpha_i}$ la décomposition de $\mu_A$ en produit de facteurs irréductibles sur $\mathbb{K}$ , où les $P_i$ sont distincts et $\alpha_i \in\N^{*}$. S'il existe $i \in [|1,q|]$ tel que $\alpha_i>1$, alors toute racine de $P_i$ est racine multiple de $\mu_A$, donc de $X^r-1$.
Impossible car dans $\C [X]$, le polynôme $X^r-1$ est scindé simples.
Donc $\mu_A=\prod_{i=1}^q P_i$.
Remarque :
Si un corps n'est pas de caractéristique nulle, par exemple $\Z / 2 \Z$, si $r=2$, alors $X^r-1=X^0-1=0$ et donc $X^r-1$ n'est pas scindé simple et la preuve ne fonctionne pas.
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@OShine : "La preuve de JLT est la même que celle qu'a donné Phil Caldéro."Non car Phil Caldéro mentionne qu'il faut penser à plonger $\Q$ dans $\C$. JLT ne le mentionne pas car c'est une évidence pour lui (mais visiblement ça t'avait échappé et c'est pour ça que je t'avais posé la question "que se passe t-il si seul 1 est racine dans $\Q$ ?").
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@OShineDe pire en pire !
Remarque :
Si un corps n'est pas de caractéristique nulle, par exemple $\Z/2\Z$, si $r=2$, alors $X^r−1=X^0−1=0$ et donc $X^r−1$ n'est pas scindé simple et la preuve ne fonctionne pas. -
Aïe ! Je ne l'avais même pas lu ...
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Vous pourrez dire à Caldero qu’on peut montrer 13) en restant dans $\mathbb K[X]$
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JLT a bien précisé juste après que cela fonction dans n'importe quel sous-corps de $\C$.
Mon erreur c'est que dans $\Z / 2 \Z [X]$, un polynôme s'écrit : $\displaystyle\sum_{k=0}^n \bar{a_k} X^k$ et le $k$ reste un entier ce n'est pas une classe, où $\bar{a_k} \in \{\bar{0},\bar{1} \}$.
Le contre-exemple a déjà été donné par @gai requin : $X^4-1=(X-1)^4$ dans $\mathbb{F}_2 [X]$.
Démontrons-le.
On a : $(X-1)^4=(X-1)^2 (X-1)^2=(X^2-2X+1)(X^2-2X+1)$
$(X-1)^4=(X^2+1)(X^2+1)=X^4+X^2+X^2+1=X^4+2X^2+1=X^4+1$ car $2=0$ dans $\Z / 2 \Z$. -
@Oshine : dans cette preuve, le fait que la caractéristique du corps soit nulle n'est pas évoquée (c'est implicite mais tu ne l'as pas compris). Pourtant c'est nécessaire car, par exemple, sur $F_2$, $X^2-1=(X-1)^2$ admet une racine double.Soit $\mu_A=\prod_{i=1}^q P_i^{\alpha_i}$ la décomposition de $\mu_A$ en irréductibles, où les $P_i$ sont distincts et $\alpha_i\in\N$. S'il existe $i$ tel que $\alpha_i>1$, alors toute racine de $P_i$ est racine multiple de $\mu_A$, donc de $X^r-1$. Impossible. Donc $\mu_A=\prod_{i=1}^q P_i$. -
N.B. J'étais resté dans le cadre du problème. D'après la question 8, $X^r-1$ est à racines simples dans $\C$, ça suffit pour répondre à la question 13 sans avoir à parler de caractéristique du corps.
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Oui c'était sous entendu, j'avais bien compris, mais je pense que l'importance de pouvoir plonger $K$ dans $\C$ (ou de dire que $K$ est de caractéristique nulle) avait échappé à OShine, ce qu'il a confirmé par la suite.
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troisqua a dit :Oui c'était sous entendu, j'avais bien compris, mais je pense que l'importance de pouvoir plonger $K$ dans $\C$ (ou de dire que $K$ est de caractéristique nulle) avait échappé à OShine, ce qu'il a confirmé par la suite.
Pour le fait de plonger $\mathbb{K}$ dans $\C$, j'ai bien compris maintenant . -
Je te l'ai déjà dit (dans l'identité de Bézout que j'ai écrite, il faut que $r$ possède un inverse n'est-ce pas ?)
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C'est le fait que $P=X^r-1\in K[X]$ est premier avec son polynôme dérivé $P'=rX^{r-1}$ si $K$ est de caractéristique nulle, d'après la relation de Bézout $\frac{X}{r}P'-P=1$.
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Ah oui c'est vrai.
Bon je vais essayer d'avancer un peu seul aujourd'hui. -
J'avance un peu.
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Q15.a) Montrons que $I_x$ est un idéal de $\mathbb{K} [X]$. Soit $x \in E$.
Sous-groupe :
$I_x \subset \ \mathbb{K}$
Le polynôme nul est dans $I_x$.
Si $P,Q \in I_x$, alors $(P-Q)(u)(x)=P(u)(x)-Q(u)(x)=0$ donc $P-Q \in I_x$.
Stabilité :
Soit $P \in I_x$ et $Q \in \mathbb{K} [X]$. Montrons que $PQ \in I_x$.
On a : $(PQ)(u)(x)=P(u) \circ Q(u) (x)=P(u) (0)=0$ d'après Q1.
$I_x$ est un idéal de $\mathbb{K} [X]$, et on connaît les idéaux de $\mathbb{K} [X]$, donc il existe un unique polynôme unitaire $\mu_x$ tel que :
$\boxed{I_x = \mu_x \mathbb{K} [X]}$
Montrons que $\mu_x \mid \mu_u$.
On sait que $\mu_u \in I_x$, car $\mu_u (u)(x)=0$ ($\mu_u(u)=0$), $\mu_u \in \mu_x \mathbb{K}$ et il existe $Q \in \mathbb{K} [X]$ tel que $\mu_u = \mu_x Q$ et finalement : $\boxed{\mu_x \mid \mu_u}$.
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Q15.b) On a : $\mu_u = P_1 ^{m_1} \cdots P_q ^{m_q}$
Or : $\mu_u(u)=0_{End(E)}$ et comme les $P_j$ sont des polynômes distincts unitaires irréductibles, ils sont premiers entre eux. En effet, un polynôme $P$ irréductible est premier avec tous les polynômes qu'il ne divise pas.
Mais alors, $P_1 ^{m_1} \wedge \cdots \wedge P_q ^{m_q} = 1$
D'après le lemme des noyaux, on en déduit : $\boxed{E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^q \ker \left( P_i ^{m_i} (u) \right)}$
Soit $i \in [|1,q|]$. Montrons que $u(N_i) \subset N_i$.
Soit $x \in N_i$. Alors $P_i ^{m_i} (u) (x)=0$.
Montrons que, $u(x) \in N_i$. On a : $P_i ^{m_i} (u) \circ u (x)=u \circ P_i ^{m_i} (u) (x)=u(0)=0$.
On a bien : $\boxed{\forall i \in [|1,q|] \ u(N_i) \subset N_i}$. -
Pour la 15.c, je commence à bloquer.
15.c) Soit $i \in [|1,q|]$.
Comme $N_i$ est stable par $u$, l'endomorphisme $u_i$ est bien défini.
Montrons que $\mu_{u_i}=P_i ^{m_i}$.
Déjà, $P_i ^{m_i} (u_i)=0$ donc $\boxed{\mu_{u_i} \mid P_i ^{m_i}}$.
Les diviseurs unitaires de $P_i ^{m_i}$ sont les $P_i ^{\alpha}$ avec $\alpha \in \{0, \cdots, m_i \}$.
Si $\mu_{u_i} = P_i ^{\alpha}$ avec $\alpha < m_i$, alors ...
Je ne vois pas.
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Soit $\alpha_i$ tel que $\mu_{u_i}=P_i^{\alpha_i}$. Alors $\prod_i P_i^{\alpha_i}$ annule $u$ sur chacun des $N_i$, donc sur $E$ tout entier, par conséquent il est divisible par $\mu_u$, ce qui entraîne que $m_i\leqslant \alpha_i$.
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Regarde ce que l'on peut faire avec le polynôme $P = P_i^{\alpha} \prod_{j \neq i}P_j^{m_j}$
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D'accord merci j'essaie de faire les détails.
Il est clair que : $\displaystyle\prod_{i=1}^q P_i ^{\alpha_i}$ annule $u$ sur $E$ tout entier car $P_i ^{\alpha_i} (u_i)=0$ et si les $N_i$ sont des espaces supplémentaires de $E$.
Donc : $\mu_u \mid \displaystyle\prod_{i=1}^q P_i ^{\alpha_i}$
Mais $\mu_u= \displaystyle\prod_{i=1}^q P_i ^{m_i}$ donc : $\displaystyle\prod_{i=1}^q P_i ^{m_i} \mid \displaystyle\prod_{i=1}^q P_i ^{\alpha_i}$
Montrons que : $\forall i \in [|1,q|] \ m_i \leq \alpha_i$.
Par l'absurde, s'il existe $j \in [|1,q|]$ tel que $m_j > \alpha_j$, alors $P_j ^{m_j} \displaystyle\prod_{1 \leq i \leq q \\ i \ne j} P_i ^{m_i} \mid P_j ^{\alpha_j} \displaystyle\prod_{1 \leq i \leq q \\ i \ne j} P_i ^{\alpha_i}$
Donc en particulier : $P_j ^{m_j} \mid P_j ^{\alpha_j} \displaystyle\prod_{1 \leq i \leq q \\ i \ne j} P_i ^{\alpha_i}$ et par le lemme de Gauss, on en déduit que $P_j ^{m_j} \mid P_j ^{\alpha_j}$ ce qui est absurde.
Donc $\forall i \in [|1,|] \ m_i \leq \alpha_i$.
Donc : $\forall i \in [|1,|] \ m_i = \alpha_i$ et $\boxed{\mu_{u_i}=P_i ^{m_i}}$. -
Pour la seconde partie de la question, par l'absurde :
Si $\forall x_i \in E \ \mu_{x_i} \ne \mu_{u_i}$, alors comme $\mu_{x_i} \mid \mu_{u_i}$ d'après Q15.a, on aurait $\mu_{x_i} \mid P_i ^{m_i -1}$.
Mais j'ai un souci, je ne trouve pas de contradiction. -
Pour tout $x\in N_i$ on a $\mu_x\mid \mu_{u_i}$. Si pour tout $x\in N_i$ on avait $\mu_x\ne \mu_{u_i}$ alors on aurait $\mu_x\mid P_i^{m_i-1}$ donc $P_i^{m_i-1}(u_i)(x)=0$ pour tout $x$, d'où $P_i^{m_i-1}(u_i)=0$.
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Merci j'ai compris. J'avais perdu de vu que $\mu_x$ est un élément de $I_x$ donc $\mu_x (u)(x)=0$.
Je vais essayer de terminer la dernière partie de la question seul. -
Il reste à montrer que : $\exists x \in E \ \mu_x = \mu_u$.
Je bloque aussi sur cette partie de la question.
On sait que les $x_i$ sont dans $E$ mais on ne connaît pas qui sont les $x_i$ ni où ils sont dans $E$. Ils sont dans $N_i$ ?
Bref, je ne vois pas du tout comment résoudre cette partie de la question.
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$x=\sum x_i$ devrait faire l'affaire.
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@gai requin
Merci mais je ne vois pas pourquoi ça fonctionne.
Je ne vois pas le lien entre $\mu_x$ et $\mu_{x_i}$. De plus, on ne sait pas qui sont les $x_i$ mis à part qu'ils sont dans $E$.
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$\mu_x(u)(x)=\sum\mu_x(u_i)(x_i)=0$ donc, pour tout $i$, $\mu_x(u_i)(x_i)=0$ puis $P_i^{m_i}\mid\mu_x$.
Donc $\mu_u\mid\mu_x$.
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Il y a deux points qui me bloquent.
Pourquoi $u(x_i)=u_i (x_i)$ ?
On ne sait pas où vivent les $x_i$, la question d'avant donne l'existence de $x_i \in E$ tel que $\mu_{x_i}=\mu_{u_i}$.
Je ne comprends pas non plus le : "donc $\forall i \ \mu_x (u_i)(x_i)=0$."
Pourquoi si la somme est nulle chaque élément est nul ?
Pour la suite, si j'ai bien compris, $\mu_x$ annule $u_i$ et donc $\mu_{u_i} \mid \mu_x $
Et la fin, $\mu_x$ est multiple de tous les $P_i ^{m_i}$ et donc de leur PPCM, mais ils sont premiers entre eux, donc $\mu_x$ est multiple de $P_1 ^{m_1} \cdots P_q ^{m_q}=\mu_u$. -
JLT a dit :
Pour tout $x\in N_i$ on a $\mu_x\mid\mu_{u_i}$. Si pour tout $x\in N_i$ on avait $\mu_x\neq\mu_{u_i}$ alors on aurait $\mu_x\mid P_i^{m_i−1}$ donc $P_i^{m_i−1}(u_i)(x)=0$ pour tout $x$, d'où $P_i^{m_i−1}(u_i)=0$.Oshine a dit :
Merci j'ai compris.OShine a dit :
On ne sait pas où vivent les $x_i$.Contradiction !
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Merci, je crois que cette fois c'est bon !
Oui, en effet, JLT a démontré que les $x_i$ étaient dans les $N_i$, il fallait le voir !
Mais il reste le dernier point :
Montrons que $\mu_x (u)(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^q \mu_x (u_i) (x_i)=0 \implies \forall i \in [|1,q|] \ \mu_x(u_i)(x_i)=0$.
On sait que : $E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^q N_i$
Donc si : $x=x_i$ alors $\forall j \ne i \ x_j=0$ et donc $\mu_x (u)(x) =0= \mu_x (u_i)(x_i) +\displaystyle\sum_{j \ne i} \mu_x (u_j) (0)=\mu_x (u_i)(x_i) $ d'où le résultat. -
N'importe quoi !
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J'ai rectifié ma coquille.
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Toujours pas !
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Bonjour,il me semble qu'il y a un problème de condition ici OShine : pour pouvoir appliquer le théorème de décomposition des noyaux, tu dois vérifier l'hypothèse "deux à deux premiers entre eux", pas seulement "premiers entre eux dans leur ensemble".Je regarderai le reste quand j'aurai le temps lolLorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Deux polynômes irréductibles unitaires distincts sont premiers entre eux.
Je n'ai jamais dit qu'ils étaient premiers entre eux dans leur ensemble.
@NicoLeProf
J'ai même vérifié ce résultat figure dans le cours de MPSI.
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gai requin a dit :Toujours pas !
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