Un rapport entre deux aires

Bouzar

Bonjour,

Choisissons des points $D, E$ et $F$ sur les côtés du triangle équilatéral $ABC$ de sorte que $|AF| = |EC| = |DB| = 1$ et $|FB| = |DC| = |AE| = 3$. Les segments de droite $EB, AD$ et $CF$ entourent un triangle qui est ombré dans le diagramme. Trouvez le rapport entre l’aire de la région ombrée et l’aire du triangle $ABC.$

Amicalement

bd2017

Bonjour

du calcul sans chercher d'astuce donne $\dfrac{7}{16}$

Edit 1.  vu le message de @Rescassol ci-dessous , je vois que je me suis trompé. En fait $7/16$ est le rapport de l'aire de DEF par l'aire  de ABC $

Edit 2.  Je suis d'accord avec 4/13

Rescassol

Bonjour,

$\dfrac{4}{13}$
Une variante est plus connue sous le nom de "One-seventh area triangle".
Pour un triangle quelconque et des coefficients barycentriques de $1$ et $t$ sur chaque côté, on obtient $\dfrac{(t-1)^2}{t^2+t+1}$.

Cordialement,
Rescassol

Bouzar

Bonsoir,

Merci pour vos contributions.

Sincèrement

Chaurien

Voir aussi :

Étoile de Noël 2023 (théorème de Marion)

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2336363/etoile-de-noel-2023-theoreme-de-marion

pappus

Bonjour à tous

Je suggère une preuve n'utilisant pas le théorème de Routh.

J'ai fait la figure pour $t=2$ (notation de Rescassol) pour des raisons de paresse et peut-être de lisibilité mais le principe reste le même pour $t=3$.

Dans ce dernier cas, qui aura le courage de faire la figure, (dans $\mathbb R^2$ évidemment puisque c'est le seul plan affine qui nous reste en tout et pour tout).

Amicalement

pappus

Ludwig

Bonjour,

Avec GGB et sa commande séquence c'est facile à faire :

pappus

Merci Ludwig

Tu as oublié de dessiner les points du quadrillage intérieurs au triangle dont l'aire est à mesurer et de les différencier de ceux qui sont sur le bord, (ce que je n'ai pas fait dans ma propre figure!).

Amicalement

pappus

PS

Ici GGB est plus performant que Cabri!

Ludwig

Et voilà !

Bon après-midi

pappus

Merci Ludwig

Et maintenant il faut les compter et appliquer le théorème de Pick.

Ce que je ne peux faire avec mes yeux fatigués!

Amicalement

pappus

Bonsoir à tous

J'ai rectifié ma figure dont tous les segments ont été tracés à la main.

Il y a moins de points que dans celle de Ludwig et il est facile d'appliquer le théorème de Pick.

Sur la figure de Ludwig, s'il est facile de compter les points sur le bord, il me parait difficile de chiffrer

le nombre des points du réseau intérieurs au triangle dont l'aire est à mesurer.

En faisant le joint entre le théorème de Routh et celui de Pick, on devrait obtenir un décompte exact du nombre des points du réseau intérieurs au triangle de Ludwig.

Amicalement

pappus

pappus

Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves!

Voici une troisième méthode que je propose sur ma figure pour $t=2$ mais vous pouvez aussi l'essayer pour $t=3$.

On évalue les aires des triangles et autres quadrilatères de couleur au moyen du lemme des chevrons qui serait au programme des collèges (?!!) selon Perrin et ce d'autant plus que nos collégiens seraient capables d'ingurgiter la merveilleuse géométrie projective selon certains d'entre nous!

Qui peut le plus avec la merveilleuse géométrie projective, peut le moins avec la tristounette et minable géométrie affine!

Amicalement

pappus

Ludwig

Bonjour,

Comme j'ai travaillé avec des listes le logiciel me donne directement le nombre de points du réseau a l'intérieur d'un triangle, pour $t=3$ : $405$ points à l'intérieur et $24$ sur le bord pour $abc$, donc l'aire de ce triangle est égale à $405+24/2-1=416$ d'après le théorème de Pick. $1275$ points à l'intérieur de $ABC$ et $156$ sur son bord donc son aire vaut $1275-156/2+1=1352$. On vérifie qu'on a bien $416/1352=4/13$.

pappus

Merci Ludwig

C'est là que je me sens un homme antédiluvien, complètement dépassé par les évènements!

Amicalement

pappus