Martingales locales

Bonjour,
Soit $M$ une martingale locale issue de $0$. Soit $(\tau_n)$ une suite de temps d'arrêt finis réduisant $M$. Soit également $\tau$ un temps d'arrêt fini. A-t-on : 
$$\text{sup}_n \mathbb{E} ( |M_{\tau \wedge \tau_n}|) = \mathbb{E} (|M_{\tau}|)$$
?
Si oui, pouvez-vous fournir une preuve ?
Merci par avance.

Réponses

  • Tony Schwarzer
    Modifié (31 Jan)
    Pour que les non probabilistes puissent m'aider :
    - Un processus continu et adapté $M$ est appelé martingale locale s'il existe une suite croissante $(\tau_n )$ de temps d'arrêt qui tend vers $+\infty$ p.s, et tel que pour tout $n$, $(M_{t \wedge \tau_n} - M_0)_{t \geq 0}$ soit une martingale uniformément intégrable.
    - On dit qu'une telle suite $(\tau_n)$ réduit $M$.
    - On dit que la martingale locale $M$ est issue de $0$ si $M_0=0$.
  • Je pense oui et avec l'appui de wiki sur les définitions 
    primo
       Puisque \(\tau_n \to \infty\) et \(\tau\) est finie, il existe \(n_0\) tel que pour \(n\ge n_0\), on a \(\tau_n\ge \tau\) presque sûrement. Ainsi, \(\tau\wedge\tau_n = \tau\) pour \(n\ge n_0\).

    secondo

       Pour \(n\) suffisamment grand, \(M_{\tau\wedge\tau_n}= M_\tau\). On a donc bien \(M_{\tau\wedge\tau_n} \to M_\tau\) presque sûrement.

    tertio  
       Chaque martingale arrêtée \(M^{\tau_n}\) est uniformément intégrable. Comme(\tau\wedge\tau_n\le\tau_n\), il en découle
    que \(M^{\tau\wedge\tau_n}\) est également UI. De plus, on a
       \[ |M_{\tau\wedge\tau_n}| \le |M_{\tau_n}|,\]
       et la famille \(\{|M_{\tau_n}|\}_{n\ge 1}\) est UI. Donc, la famille \(\{|M_{\tau\wedge\tau_n}|\}_{n\ge 1}\) est UI.

    fnish
    Application du théorème de convergence dominée de Vitali :
       La convergence presque sûre de \(M_{\tau\wedge\tau_n}\) vers \(M_\tau\) combinée à l'uniforme intégrabilité de la famille permet d'appliquer le théorème de Vitali pour conclure
       \[\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}(|M_{\tau\wedge\tau_n}|)= \mathbb{E}(|M_\tau|). \]

    Mésalor 
       La suite \(\mathbb{E}(|M_{\tau\wedge\tau_n}|)\) est croissante (car \(\tau_n\) est croissante, donc \(\tau\wedge\tau_n\) aussi), et par conséquent,
       \[ \sup_n \mathbb{E}(|M_{\tau\wedge\tau_n}|) =\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}(|M_{\tau\wedge\tau_n}|) =\mathbb{E}(|M_\tau|). \]


    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Tony Schwarzer
    Modifié (31 Jan)
    Je ne vois pas pourquoi $|M_{\tau \wedge \tau_n}| \leq |M_{\tau_n}|$.
  • Variété
    Modifié (1 Feb)
    En utilisant la défintion de $\tau \wedge \tau_n$, tu devrais pouvoir conclure avec une disjonction de cas.
  • Tony Schwarzer
    Modifié (1 Feb)
    Vraiment, je ne vois pas. Je pense même que c'est faux, en fait.
    Si $M$ est le mouvement brownien $B$, qui est une martingale locale issue de $0$.
    On prend $\tau_n=n$, $\tau=1$. Il n'a jamais été vrai que $|B_{1 \wedge n}| \leq |B_{n}|$.

    Je ne vois pas non plus pourquoi la famille $(|M_{\tau_n}|)_n$ est uniformément intégrable.
    En effet, avec mon exemple, $(|B_n|)_n$ ne l'est clairement pas, puisqu'elle n'est même pas bornée dans $L^1$. En effet :
    $$\mathbb{E} (|B_n|) = \sqrt{\frac{2 n}{\pi}}$$
  • gebrane
    Modifié (1 Feb)
    Tu as raison, l'inégalité n'est pas toujours vraie. Mon idée etait d'utiliser le théorème de convergence dominée de Vitali : Si 
      - \( M_{\tau \wedge \tau_n} \to M_\tau \) presque sûrement.
      - \( \{ |M_{\tau \wedge \tau_n}| \}_n \) est uniformément intégrable.
     Alors  \[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}[|M_{\tau \wedge\tau_n}|] = \mathbb{E}[|M_\tau|]. \]
    je pense que tu es ok avec \( M_{\tau \wedge \tau_n} \to M_\tau \) presque sûrement quand \( n \to \infty \)
    On se ramene donc à démontrer que \( \{ |M_{\tau \wedge \tau_n}| \}_n \) est uniformément intégrable.
    .
    D'apres mes lectures et peut etre je me trompais,  Par définition des temps d'arrêt réduisants, \( M^{\tau_n} = (M_{t \wedge \tau_n})_{t \geq 0} \) est une martingale uniformément intégrable (UI).
     En particulier, la famille \( \{ M_{\sigma} \mid \sigma \leq \tau_n \} \) est UI (théorème d'arrêt pour les martingales UI).
    - Pour \( n \geq n_0(\omega) \), \( |M_{\tau \wedge \tau_n}| = |M_\tau| \), qui est intégrable (car \( \tau \) est fini et \( M \) est une martingale locale).
    - Pour \( n < n_0(\omega) \), \( \tau \wedge \tau_n \leq \tau_n \), donc \( |M_{\tau \wedge \tau_n}| \leq \sup_{t \leq \tau_n} |M_t| \).
    - Or, \( \sup_{t \leq \tau_n} |M_t| \) est intégrable car \( M^{\tau_n} \) est UI (propriété des martingales UI d'apres mes lectures hâtives donc à ta charge).
    - La famille \( \{ |M_{\tau \wedge \tau_n}| \}_n \) est donc dominée par \( \max\left( |M_\tau|, \sup_{n < n_0} \sup_{t \leq \tau_n} |M_t| \right) \), qui est UI.


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  • Bonjour @gebrane ,
    Merci pour ta réponse.
    Je n'avais pas encore eu le temps de lire avec attention ton message, je suis un peu débordé en ce moment. Mais je n'avais pas oublié de te répondre. Je suis d'accord avec le début de ton message et j'avais bien vu la suite (que je n'avais pas encore lue). Je te laisse donc la remettre. J'y répondrai, peut-être pas dans la seconde, mais je le ferai.
  • Je viens de voir que tu as remis ton message. Je réponds très prochainement.
  • Ce n'est pas moi qui a remis le message  
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  • Bonjour @gebrane ,
    Je ne suis toujours pas d'accord, mais peut-être que j'ai raté quelque chose.
    Enfin, je ne suis pas d'accord avec la phrase suivante :
    $\sup_{t \leq \tau_n} |M_t|$ est $L^1$ puisque $M^{\tau_n}$ est u.i.
    En effet, j'ai l'impression que tu penses qu'une famille de variables aléatoires est u.i. si et seulement si elle est dominée par une variable aléatoire intégrable. C'est faux : il existe des familles u.i. qui ne sont pas dominées par une variable $L^1$. Je dis ça car je ne vois pas pourquoi cette affirmation est vraie et tel que c'est écrit j'ai l'impression que tu dis "$(X_i)_i $ est u.i. donc $\sup_i |X_i| \in L^1$", ce qui est faux.


  • Tony Schwarzer
    Modifié (10 Feb)
    Ensuite, pour ce qui est "à ma charge", la définition de martingale locale s'énonce de la façon suivante :
    Un processus continu adapté $M$ est appelé martingale locale s'il existe une suite croissante de temps d'arrêt $(\tau_n)$ qui converge p.s. vers $+ \infty$ et tel que $M^{\tau_n}-M_0$ est une martingale u.i.
    Mais on n'est pas obligé de demander "u.i." car si on a $\tau_n$ tel que $M^{\tau_n}-M_0$ est une martingale, il suffit de prendre $\tau_n \wedge n$ et là c'est u.i.
  • gebrane
    Modifié (10 Feb)
    Pour te répondre sans fautes. Je dois réviser et étudier le cours de a à z. Je n'ai pas le temps ni l envie  pour le faire. Peut être @aléa ou @p2 ou ?
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  • Ce sur quoi je ne suis pas d'accord ne porte pas sur les martingales locales mais simplement sur un point spécifique concernant l'uniforme intégrabilité. Je suis d'accord avec le début de ton message.

  • Enfin bon, quoi qu'il en soit, j'ai pu montrer ce que je voulais montrer sans cette égalité.
  • La tu baisses les armes, il faut que tu trouves une réponses à ta question, soit l'égalité et vraie soit elle est fausse avec un contre exemple 
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