Equation fonctionnelle $f(x+m(x-y))-f(x)=f(y-m(x-y))-f(y)$
Dans le titre $f$ est une fonction reelle continue sur $\R$ -ou derivable au besoin, $m$ est une fonction definie sur $\R$ Dans le cas qui m'interesse $m(r)=\log (a+e^r)-log (b+e^r)$ d'ou le choix de la lettre $m$ pour monstre. Mais je ne pense pas que ce choix de $m$ soit reellement important. Car je reve de montrer que $f(x)=Ax+B$. J'ai tente un peu tout, separation des variables, equation differentielle, suppression de $x=y+r$ au profit de $r$, et maintenant j'en appelle a la communaute.
Réponses
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salut
$ f(x + m(x - y)) - f(x) = f(y - m(x - y)) - f(y) \iff \dfrac {f(x + m(x - y)) - f(x)}{m(x - y)} = \dfrac {f(y - m(x - y)) - f(y)} {m(x - y)} = \dfrac {f(y) - f(y - m(x - y))} {-m(x - y)}$
pour tous x et y tels que $m(x - y) \ne 0$
le taux de variation de f est donc constant ...Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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Peut etre le probleme voisin suivant fournit-il une reponse: soit $g$ continue sur $\R$ telle que pour tout $x\in \R$ on ait$$g(x+1+\sqrt{2})-g(x+1)-g(x+\sqrt{2})+g(x)=0$$ Montrer qu'il existe $A$ et $B$ tels que $g(x)=Ax+B.$ Voici une idee que je ne sais mener a bout:On a pour tous $n$ et $m$ entiers relatifs$$g(x+n+m\sqrt{2})-g(x+n)-g(x+m\sqrt{2})+g(x)=0$$Soit alors $m(n)$ une suite telle que $n+ m(n)\sqrt{2}\to _{n\infty}0$. Alors$$g(x+n)+g(x+m(n)\sqrt{2})\to _{n\infty}2g(x)$$
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Bonjour,
On choisit $y=x+m(x-y)$ et alors $f(x)=f(x+m(-m(x-y)))$. On choisit $y=x-t$ et alors $f(x)=f(x+m(-m(t)))$ pour tout $x,t.$ Dans le cas général, $m(-m(t))$ prend des valeurs distinctes dans un intervalle continu selon $t$ et $f$ est périodique de période $m(-m(t))$ et donc $f$ est constante. -
Changement de variables : $h:=x-y$. L'équation fonctionnelle du fil s'écrit alors : $$\forall x\in \R, \forall h\in \R, \qquad f(x+m(h))-f(x) = f(x-h-m(h))-f(x-h)$$ Soit $E^a$ l'opérateur de translation par $a$ : $E^af(x):=f(x+a)$. L'équation fonctionnelle se réécrit : $$\forall x\in \R, \forall h\in \R, \qquad (E^{m(h)}-1)f(x) = (E^{-h-m(h)}-E^{-h})f(x)$$qui est équivalent à (en utilisant $E^aE^b=E^{a+b}$ et en réorganisant les termes) : $$\forall h\in \R, \qquad \underbrace{(E^{m(h)}-1)}_{A_h}\;\underbrace{(1+E^{-h-m(h)})}_{B_h}\, f = 0$$
Edit : je rétracte ce qui était écrit ensuite, c'était faux.
$\ker A_h$ est l'ensemble des fonctions $m(h)$-périodiques.
$\ker B_h$ est l'ensemble des fonctions vérifiant $f(x+nc_h)=(-1)^nf(x)$, où $c_h:=h+m(h)$, et est donc inclus dans l'ensemble des fonctions $2c_h$-périodiques.
Si $m$ est une fonction constante, on conclut facilement. Sinon ...Après je bloque. -
@P.2 Concernant ton deuxième exemple, avec mes notations ci-dessus il s'écrit $(E^1-1)(E^{\sqrt{2}}-1)\, g = 0$. C'est clair que toute fonction $1$-périodique convient, de même que toute fonction $\sqrt{2}$-périodique. Donc tu n'arriveras pas à montrer que $g$ est nécessairement affine. Peut-être que ce qui est vrai est qu'une solution non périodique est nécessairement affine, mais je ne vois pas trop comment faire.
Par ailleurs, ton cas particulier n'est pas de la même forme que la forme générale du fil, $(E^1-1)(E^{\sqrt{2}}-1)\, g = 0$ versus $(E^{m(h)}-1)(E^{h+m(h)}+1)\, f = 0$ : le signe dans le deuxième opérateur fait une différence je pense. C'est quoi la bonne équation ?
Après je bloque. -
Chers amis, merci de vos reponses. Honte a moi, il y a une erreur dans l'enonce qui est -avec les excellentes notations de i.zitoussi $f(x+h+m(h))-f(x+h)=f(x+m(h))-f(x)$: une erreur de signe qui n'arrangeait rien. Je continue a reflechir.
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