
Aire maximale triangle à périmètre constant
Réponses
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JLT a dit :Pour le triangle équilatéral on a $S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}$. On cherche à démontrer que pour tout triangle, $S\leqslant \frac{p^2}{3\sqrt{3}}$. Pour cela il suffit par homogénéité de le démontrer pour les triangles d'aire fixée (car si on effectue une homothétie de rapport $\lambda$, les deux membres sont multipliés par $\lambda^2$). C'est pour ça que j'ai dit que "maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante."
Si le triangle est équilatéral, $a=b=c$ et $S^2=p(p-a)^3$
Donc $S=\sqrt{p(p-a)^3}$ ça sort d'où le $S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}$ ?
Pour la suite, je ne comprends toujours pas la phrase "maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante."
C'est où qu'on utilise que le périmètre est constant ?
Comment on peut maximiser une aire alors qu'on parle ensuite d'aire constante ?
Comment on peut minimiser un périmètre constant ?
C'est où qu'on utilise que l'aire est fixée dans le raisonnement ? Pourquoi fixer l'aire ?
Je ne comprends rien à ce raisonnement, et ce n'est pas un problème de maths, je ne comprends pas la logique.
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"le produit de (p - b) et (p - c), dont la somme est constante, est maximum lorsque ces deux nombres sont égaux."
Je ne comprends pas ce raisonnement.
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Je suis dans le même étonnement que Rescassol devant ta réponse ... Moi aussi j'ai vu les trois coniques en TC ...
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OShine a dit :JLT a dit :Pour le triangle équilatéral on a $S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}$. On cherche à démontrer que pour tout triangle, $S\leqslant \frac{p^2}{3\sqrt{3}}$. Pour cela il suffit par homogénéité de le démontrer pour les triangles d'aire fixée (car si on effectue une homothétie de rapport $\lambda$, les deux membres sont multipliés par $\lambda^2$). C'est pour ça que j'ai dit que "maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante."
Si le triangle est équilatéral, $a=b=c$ et $S^2=p(p-a)^3$
Donc $S=\sqrt{p(p-a)^3}$ ça sort d'où le $S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}$ ?
Tu n'arrives pas à exprimer tout seul l'aire d'un triangle équilatéral en fonction de son demi-périmètre : tu es vraiment sûr de vouloir t'acharner à chercher à comprendre chacune des méthodes présentées dans ce thread ?
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Lorsque tu maximises une fonction strictement concave sur une partie convexe, de manière évidente il y a au plus un point de maximum ; ce qui implique que les trois variables sont égales en tout point de maximum lorsque la fonction que tu maximises et le domaine sont invariants par permutation des variables, car si par exemple tu avais une solution avec deux variables distinctes, tu en aurais une autre en permutant ces variables.Edit correction de la typo "permettant", JLB
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@jelobreuil @Rescassol Bac S dans les années 2000 et je n'ai pas étudié les coniques de toute ma scolarité... J'ai même du chercher la définition de foyers, directrices... quand je vous ai vu en parler sur ce forum (bilan personnel : j'ai finalement adopté la définition qui se sert des ombilics, perdu pour perdu, autant ne garder que la définition calculatoire)Donc cela n'a rien d'étonnant si OShine est de ma génération ce qui est probable.La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
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Personnellement j'ai vu les coniques notamment d'un point de vue géométrique en terminale C (1990) aussi, en maths sup en physique, mais je reconnais que ce doit être la partie des maths que j'ai le plus rapidement oublié... Il ne me reste que la définition bifocale, et après j'ai oublié tout le reste qui n'est pas algébrique.
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Les tunnels historiques des stations de métro parisiennes anciennes sont des ellipses, ce qui explique qu'en se plaçant à certains endroits on entend très bien ce qui se passe à des endroits éloignés
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Merci @Vassillia de nous rappeler à quel point nous, "les vieux de la vieille école", sommes "privilégiés" ...@OShine ce n'est pas un raisonnement, c'est le résultat d'un calcul !Je pose $(p-b) + (p-c) = 2p-b-c = P = constante$ ce qui donne $p = (P+b+c)/2$Quand je calcule alors le produit $(p-b)(p-c)$ avec cette expression de $p$, j'aboutis finalement à une expression de ce produit qui montre bien que ce produit est effectivement maximum quand $b = c$.Fais ce calcul et tu verras !Que tu n'aies pas eu ce réflexe devant ton incompréhension, cela reste pour moi un véritable mystère ...
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Cette discussion me donne envie de refaire un peu de géométrie (basique) des coniques. J'ai ressorti mon Gauthier, Royer, Thiercé de Terminales C et E, et j'attaque le chapitre 10 du bon tome dès que j'ai fini mes 170 copies de fac.
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Le programme de l'agrégation interne est très léger sur les extrema.Extrémums locaux d’une fonction de classe $\mathcal C^2$ de deux variables en un point où $rt − s^2\neq 0$.Ici, on peut s'en sortir en paramétrant le plan d'équation $x+y+z=2p$ par $x=2p-t,y=t-u,z=u$ ($t,u$ réels).
Exemples de problèmes d’extrémums issus de la géométrie
On doit donc maximiser $f:(t,u)\mapsto p(t-p)(p-t+u)(p-u)$ sur le compact $K$ d'inéquations $t\geq p,p-t+u\geq 0,u\leq p$.
1) Sur le triangle-frontière de $K$, $f$ est nulle.
2) $f$ admet un seul point critique $(t=4p/3,u=2p/3)$ à l'intérieur de $K$.
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Voici encore une autre méthode. Avec les relations métriques $a=2R\sin\alpha$ et $S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha$ et un peu de trigo, on trouve $\frac{S}{p^2}=\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}\tan\frac{\gamma}{2}$ où $p=(a+b+c)/2$. Posons $x=\tan\frac{\alpha}{2}$ et $y=\tan\frac{\beta}{2}$, alors $\frac{S}{p^2}=\frac{xy(1-xy)}{x+y}\leqslant \frac{xy(1-xy)}{2\sqrt{xy}}=\frac{1}{2}t(1-t^2)$ où $t=\sqrt{xy}$. Une simple étude de fonction montre que $\frac{1}{2}t(1-t^2)$ est maximum lorsque $t=\frac{1}{\sqrt{3}}$, donc $\frac{S}{p^2}$ atteint cette valeur maximum lorsque $x+y=2\sqrt{xy}$ et $\sqrt{xy}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, c'est-à-dire $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$, ce qui équivaut à $\alpha=\beta=\frac\pi{3}$.
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@OShine : cette histoire de minimum et de maximum n'est pas un vrai problème. Je pensais avoir donné une explication claire plus haut.Voici un contexte différent mais qui peut éventuellement t'éclairer.Je veux, avec 100 €, obtenir le maximum de yens.je veux obtenir 10 000 yens en payant le minimum d'euros.la "constante" est, dans les deux cas le nombre affiché.On peut dire que la question sous-jacente est la même : obtenir le taux de change le plus favorable au détenteur d'euros. C'est ce taux qui représente ici le triangle idéal, celui qui, entouré (triangulairement !) par une ficelle de 10 mètres, offrira la plus grande aire intérieure, et aussi celui qui pour entourer 10m², utilisera la plus petite ficelle.En enchaînant les deux performances, on démontre que la forme idéale pour la première opération est aussi la forme idéale pour la seconde. On le démontre par l'absurde.
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En d'autres mots, plus courts, Je prends un triangle $ABC$, je prends la famille de tous les triangles $\mathcal{T}$ semblables à ce triangle $ABC$, et je m'intéresse aux 2 indicateurs $\text{Aire}( \mathcal{T})$ et $\text{Périmètre}(\mathcal{T})$ ; tout ce qu'on est en train de dire, c'est que la fonction $\text{Aire} = f(\text{Périmètre})$ est une fonction strictement croissante sur cette famille.
Si la fonction $\text{Aire} = f(\text{Périmètre})$ est une fonction strictement croissante, alors la fonction $\text{Périmètre} = g (\text{Aire} ) $ existe, et est également strictement croissante.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
lourrran a dit :En d'autres mots, plus courts, Je prends un triangle $ABC$, je prends la famille de tous les triangles $\mathcal{T}$ semblables à ce triangle $ABC$, et je m'intéresse aux 2 indicateurs $\text{Aire}( \mathcal{T})$ et $\text{Périmètre}(\mathcal{T})$ ; tout ce qu'on est en train de dire, c'est que la fonction $\text{Aire} = f(\text{Périmètre})$ est une fonction strictement croissante sur cette famille.
Si la fonction $\text{Aire} = f(\text{Périmètre})$ est une fonction strictement croissante, alors la fonction $\text{Périmètre} = g (\text{Aire} ) $ existe, et est également strictement croissante. -
math2 a dit :Lorsque tu maximises une fonction strictement concave sur une partie convexe, de manière évidente il y a au plus un point de maximum ; ce qui implique que les trois variables sont égales en tout point de maximum lorsque la fonction que tu maximises et le domaine sont invariants par permutation des variables, car si par exemple tu avais une solution avec deux variables distinctes, tu en aurais une autre en permutant ces variables.Edit correction de la typo "permettant", JLB
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Je ne comprends pas la logique du raisonnement avec le $P$.Merci @Vassillia de nous rappeler à quel point nous, "les vieux de la vieille école", sommes "privilégiés" ...@OShine ce n'est pas un raisonnement, c'est le résultat d'un calcul !Je pose $(p-b) + (p-c) = 2p-b-c = P = constante$ ce qui donne $p = (P+b+c)/2$Quand je calcule alors le produit $(p-b)(p-c)$ avec cette expression de $p$, j'aboutis finalement à une expression de ce produit qui montre bien que ce produit est effectivement maximum quand $b = c$.Fais ce calcul et tu verras !Que tu n'aies pas eu ce réflexe devant ton incompréhension, cela reste pour moi un véritable mystère ...
Afin de faire un calcul, il faut comprendre ce que l'on fait ici je ne comprends rien.
$(p-b)(p-c)=\dfrac{P+c-b}{2} \dfrac{P+b-c}{2}$ ??
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Si tes calculs sont justes. Je vois (A-B)(A+B)…
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Sans te conseiller d'aller dans cette direction pour cet exercice, je te recommande de chercher des vidéos qui parlent d'ellipse et de jardinier, cela t'aidera à visualiser/mémoriser les ellipses comme le lieu des points dont la somme des distance à 2 points fixés (les foyers) est constante (en gros on tend une ficelle entre ces deux points).
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
gai requin a dit :Ici, on peut s'en sortir en paramétrant le plan d'équation $x+y+z=2p$ par $x=2p-t,y=t-u,z=u$ ($t,u$ réels).
On doit donc maximiser $f:(t,u)\mapsto p(t-p)(p-t+u)(p-u)$ sur le compact $K$ d'inéquations $t\geq p,p-t+u\geq 0,u\leq p$.
1) Sur le triangle-frontière de $K$, $f$ est nulle.
2) $f$ admet un seul point critique $(t=4p/3,u=2p/3)$ à l'intérieur de $K$.
Je ne vois pas de compact.
Pas compris c'est quoi le triangle frontière. -
Et alors, quand est-ce que ce truc est maximal ?
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Quand $b=c$.
Mais je ne comprends pas pourquoi on regarde que $(p-b)(p-c)$ et le $p-a$ on en fait quoi ?
Je n'ai pas les connaissances pour suivre ici, je n'ai jamais étudié l'optimisation.
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OShine a dit :"le produit de (p - b) et (p - c), dont la somme est constante, est maximum lorsque ces deux nombres sont égaux."
Je ne comprends pas ce raisonnement.
Quand, mais quand, cesseras-tu de chercher n'importe quel prétexte pour éviter de te mettre à REFLECHIR ?
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Je sais réfléchir en algèbre, en analyse, en probabilités.
Mais en géométrie, je ne sais pas réfléchir.
@jelobreuil
Je ne comprends pas pourquoi on s'intéresse à $(p-b)(p-c)$ et pas $(p-a)(p-b)(p-c)$, tout ça est très obscur. -
Catherine Nadault a dit :Bonsoir,
Pour savoir si c'est très intuitif ou non, il faudrait d'abord savoir ce qu'est l'intuition...
Sans prétendre avoir une réponse à la question, je pense que le problème initial est intéressant parce que, précisément, il peut passer par quelque chose d'assez "intuitif" : Si on fixe le côté BC = a, et si le périmètre est constant, alors le maximum de l'aire est atteint pour b = c.
On peut le voir d'une façon "intuitive géométrique" : le sommet A est sur l'ellipse et la hauteur du triangle est maximale sur l'axeou de façon "intuitive algébrique" : commele produit de (p - b) et (p - c), dont la somme est constante, est maximum lorsque ces deux nombres sont égaux.Tout simplement parce que dans ce contexte, on considère que a est constant, ainsi que p !Non seulement tu refuses de réfléchir, mais tu n'as pas le réflexe de reprendre la discussion un peu plus haut pour essayer de comprendre ... -
OShine a dit :Je sais réfléchir en algèbre, en analyse, en probabilités.
Mais en géométrie, je ne sais pas réfléchir.
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Je sais réfléchir en algèbre, en analyse, en probabilités.Le 9 janvier dernier, oui.
Mais c'est tout.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Oui $a$ était constant merci, j'essaie de lire les messages mais je ne comprends pas plus de 10% de ce qui est écrit, comme le dessin avec l'ellipse, je ne le comprends pas.
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Une ellipse est constituée des points dont la somme des distances à 2 points fixés est constante.Ça tombe bien, nous on fixe le périmètre du triangle, puis on fixe la longueur d'un côté, et on regarde ce qui peut arriver au troisième sommet. Il se promène donc sur cette ellipse. On se demande donc à quel moment sur cette ellipse l'aire du triangle va être maximale. On s'en doute, c'est quand la hauteur sera maximale. Ce sera donc quand ce sommet sera sur la médiatrice de la base. Le triangle sera alors isocèle. On peut recommencer ce raisonnement pour chacun des 3 cotés. Le triangle est isocèle en chacun des sommets, donc équilatéral.Cela utilise des résultats sur les ellipses qui ne sont ni évidents, ni immédiats, mais qui font partie de la culture des maths qui n'est plus transmise.Encore une fois, pour mieux visualiser cela va chercher dans ton moteur préféré "ellipse + jardinage".The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
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@OShine, Je peux comprendre que tu ne comprennes pas tout ce qui est écrit dans les messages précédents, moi non plus je ne comprends pas tout ...En outre, si tu n'as jamais eu l'occasion d'étudier l'ellipse, c'est effectivement difficile de comprendre le dessin plus haut ...Mais comme vient de l'écrire @Soc, l'une des définitions d'une ellipse est que c'est le lieu géométrique des points dont la somme des distances à deux points fixés est constante. Et tout le reste en découle : puisque les deux points $B$ et $C$ sont fixés, la distance $a$ qui les sépare est constante, n'est-ce pas ? Et si on considère que le périmètre est constant, le demi-périmètre $p$ l'est aussi, n'est-ce pas ? Donc, $p - a$ est constant ... Cela répond à ta question, n'est-ce pas ?
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zygomathique a dit :salut
la fonction $f : (x, y, z) \mapsto S^2 = p(p - x)(p - y)(p - z)$ est invariante par toute permutation de (x, y, z)
elle possède donc un point critique intersection des plans x = y, y = z et z = x donc en x = y = z ...
on vérifie ensuite que c'est un maximum ...
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je n'ai pas tout lu, mais il me semble que l'inegalite $(abc)^{1/3}\leq \frac{a+b+c}{3}$ appliquee a $a=p-x,\ b=p-y, c=p-y$ resout le probleme sans parler differentielle, compacite, hessienne?
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