
Aire maximale triangle à périmètre constant
Bonsoir,
Dans une vidéo de Phil Caldéro où une candidate passe à l'oral pour simuler un oral d'agreg interne (inégalité isopérimétrique), il lui pose la question : quelle est l'aire maximale d'un triangle à périmètre constant ? Pour quelle triangle est-elle obtenue ?
Elle a répondu pour un triangle équilatéral sans réfléchir.
"Il est assez intuitif que ce sera obtenu pour un triangle équilatéral".
Je ne comprends pas d'où ça sort, pourquoi c'est intuitif que ça va être un triangle équilatéral ?
J'ai regardé la formule d'Héron, mais ça ne m'aide pas.
Dans une vidéo de Phil Caldéro où une candidate passe à l'oral pour simuler un oral d'agreg interne (inégalité isopérimétrique), il lui pose la question : quelle est l'aire maximale d'un triangle à périmètre constant ? Pour quelle triangle est-elle obtenue ?
Elle a répondu pour un triangle équilatéral sans réfléchir.
"Il est assez intuitif que ce sera obtenu pour un triangle équilatéral".
Je ne comprends pas d'où ça sort, pourquoi c'est intuitif que ça va être un triangle équilatéral ?
J'ai regardé la formule d'Héron, mais ça ne m'aide pas.
Réponses
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Bonsoir,
Comment veux tu expliquer l'intuition, surtout si tu n'en disposes pas ?
Par contre, si tu veux un calcul, voilà:syms x y z real % p=(x+y+z)/2=1 donc: p=1; z=2*p-x-y; S2=p*(p-x)*(p-y)*(p-z); X=Factor(diff(S2,x)); % X=(y-1)*(2*x+y-2) Y=Factor(diff(S2,y)); % Y=(x-1)*(x+2*y-2) % Donc x=y=z=2/3
Cordialement,
Rescassol
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Il m'arrive d'avoir de l'intuition mais pas beaucoup en géométrie.
Je ne comprends pas trop ton calcul. Je ne connais pas ce langage. -
Salut OS, l'intuition vient en résolvant plusieurs problèmes de ce genre notamment d'optimisation où des histoires de max peuvent conduire à des figures très particulières comme des polygones réguliers par exemple. Sinon, on peut se dire aussi qu'un triangle ayant des longueurs assez différentes (un triangle plus "étendu") en comparaison à un triangle équilatéral de même périmètre aura une plus petite aire que le triangle équilatéral en question.Voilà, sinon, on se ramène à l'étude d'une fonction de deux variables comme l'a fait Rescassol et cela devient un exercice de calcul différentiel assez basique.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Bonsoir,
Il n'y a pas de langage à connaître, à part que:
Factor, ça factorise.
diff, ça différentie (dérivées partielles, si tu préfères).
Et tu as du reconnaître la formule de Héron.
Cordialement,
Rescassol
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Prends 20 allumettes. Et avec ces 20 allumettes, tu les poses sur une table, pour faire un triangle. Tu peux par exemple en mettre 4 sur un côté, 7 sur un autre, et 9 sur le dernier .. ou (5,6,9) , ou (2,9,9) , ou (6,7,7) etc etc
Tu auras différents triangles avec un périmètre de 20.
Et parmi toutes ces solutions, tu essaies de voir lesquelles sont 'ridicules (surface très petite) et lesquelles ont une surface maximale. A l'oeil, sans faire de calcul. Vois ça comme une activité que tu pourrais faire avec tes élèves de 6ème pour développer LEUR intuition.
Tu ne pourras pas faire de triangle équilatéral, parce que 20 n'est pas divisible par 3. Tu peux donc faire (ensuite) le même exercice avec 21 allumettes.
Et toujours avec ces allumettes, tu peux ensuite chercher le quadrilatère qui a la plus grande surface.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Pour l'idée intuitive : maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante. Soit $ABC$ un tel triangle de périmètre minimal. On déplace le point C sur une droite $\Delta$ parallèle à $(AB)$.La somme $AC+CB$ est minimale. Soit $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $\Delta$. Alors $AC+CB=AC+CB'$ est minimal lorsque $C\in [AB']$, donc lorsque $ABC$ est isocèle en $C$. Par symétrie des rôles des sommets $A,B,C$, le triangle est équilatéral.
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@NicoLeProf
D'accord merci.
@Rescassol
D'accord j'ai revu le cours sur les fonctions de 2 variables.
Mais pourquoi tu calcules les points critiques de $S^2$ et pas ceux de $S$ ?
En prenant $S$, je calcule les dérivées partielles et je trouve que le point critique est atteint en $x=y=\dfrac{2}{3} p$ soit $x=y=\dfrac{2}{3}$ pour $p=1$.
D'après le dunod il faut maintenant étudier le signe de $S(x,y)-S(2/3,2/3)=\sqrt{(1-x)(1-y)(x+y-1)}-\dfrac{1}{3 \sqrt{3}}$ au voisinage de $(2/3,2/3)$, c'est là que je bute. -
Voici un exercice intéressant : http://www.debart.fr/college/optimisation_troisieme.html#ch1
La personne que tu as vu dans la vidéo est peut-être prof avec des classes de 3ème ? Ou bien elle a fait cet exercice quand elle était élève en 3ème ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Bonjour,
> Mais pourquoi tu calcules les points critiques de $S^2$ et pas ceux de $S$ ?
$S$ est maximum si $S^2$ est maximum, et pourquoi manipuler des racines carrées si on peut s'en passer ?
Cordialement,
Rescassol
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Si on veut le faire par le calcul : on essaye de maximiser $S^2=p(p-x)(p-y)(p-z)$ sur $A=\{(x,y,z)\in [0,p]^3, x+y+z=2p\}$. Le maximum est atteint par continuité de $f(x,y,z)=p(p-x)(p-y)(p-z)$ et par compacité de $A$. Si $z=0$ alors $x=y=p$ et $f(x,y,z)=0$. De même si $x=0$ ou $y=0$.
Si $x=p$ ou $y=p$ ou $z=p$ alors $f(x,y,z)=0$.
On a montré sur $f=0$ sur la frontière de $A$. Donc $f$ atteint son maximum en un point intérieur à $A$. Ce point est nécessairement un point critique de $f$. Or il existe un et un seul point critique : $(p/3,p/3,p/3)$ donc le maximum est atteint en ce point.
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salut
la fonction $f : (x, y, z) \mapsto S^2 = p(p - x)(p - y)(p - z)$ est invariante par toute permutation de (x, y, z)
elle possède donc un point critique intersection des plans x = y, y = z et z = x donc en x = y = z ...
on vérifie ensuite que c'est un maximum ...Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
-
Bonjour à tous,
Peut-être que le terme « intuition » n’est pas le bon. En travaillant sur ces histoires de lien entre périmètre et aire on s’aperçoit qu’une ficelle fermée renferme son aire maximale avec un cercle. Et ça se démontre.Puis qu’un rectangle à périmètre constant a son aire maximale lorsqu’il est carré.C’est de l’expérience et non de l’intuition qui fait dire « avec un triangle à périmètre constant, ce doit être le triangle équilatéral qui renferme l’aire la plus grande ».On a aussi cela avec les hexagones réguliers (alvéoles des abeilles dont l’explication donnée serait : pour consommer moins de cire, mieux vaut qu’ils soient réguliers, ces hexagones).On a aussi cela en 3D avec la bulle de savon : la sphère de savon est assimilée à une surface constante renfermant le volume le plus grand. Une histoire de pression… dont je ne sais rien car la physique m’est très étrangère.
Bref : je rejette le terme intuition pour le triangle mais je le remplace par une expérience disons de « généralisation » à n’importe quel polygone.
Cordialement
Dom -
zygomathique a dit :salut
la fonction $f : (x, y, z) \mapsto S^2 = p(p - x)(p - y)(p - z)$ est invariante par toute permutation de (x, y, z)
elle possède donc un point critique intersection des plans x = y, y = z et z = x donc en x = y = z ...
on vérifie ensuite que c'est un maximum ...
Je ne comprends pas d'où sortent les plans $x=y$ etc. -
Je ne me souviens plus trop mais l'étude de la matrice hessienne au point critique trouvé ne permet pas de conclure? C'est du calcul après donc pas passionnant à outrance.
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
J'ai à peu près compris la solution de JLT, mais j'ai du mal à déterminer qui la frontière de $A$.
$\R^3$ est un espace vectoriel de dimension finie.
$A$ est compact car il est borné ($A$ est inclus dans $[0,p]^3$), et il est fermé car c'est l'image réciproque du fermé $\{ 2p \}$ par l'application continue (car linéaire) $(x,y,z) \mapsto x+y+z$.
Point critique :
$\frac{\partial S^2}{\partial x}=-p(p-y)(p-z)$
$\frac{\partial S^2}{\partial y}=-p(p-x)(p-z)$
$\frac{\partial S^2}{\partial z}=-p(p-x)(p-y)$
$\frac{\partial S^2}{\partial x}=\frac{\partial S^2}{\partial y}=\frac{\partial S^2}{\partial z}=0 \iff x=y=z=p$
Mais sur $A$, on a $x+y+z=2p$ donc $3x=2p$ soit $x=y=z=\dfrac{2p}{3}$.
Le point critique est $(\frac{2p}{3},\frac{2p}{3},\frac{2p}{3})$.
Frontière de $A$ :
$A= \{ (x,y,x+y-2p) \ | \ (x,y) \in [0,p]^2 \}$.
On sait que $Fr(A)=\bar{A} \backslash Int(A)$ mais après je bloque.
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JLT a dit :Pour l'idée intuitive : maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante. Soit $ABC$ un tel triangle de périmètre minimal. On déplace le point C sur une droite $\Delta$ parallèle à $(AB)$.La somme $AC+CB$ est minimale. Soit $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $\Delta$. Alors $AC+CB=AC+CB'$ est minimal lorsque $C\in [AB']$, donc lorsque $ABC$ est isocèle en $C$. Par symétrie des rôles des sommets $A,B,C$, le triangle est équilatéral.
J'ai essayé de poursuivre le raisonnement, mais il n'y a aucune ligne ou étape du raisonnement que je comprends. -
lourrran a dit :Voici un exercice intéressant : http://www.debart.fr/college/optimisation_troisieme.html#ch1
La personne que tu as vu dans la vidéo est peut-être prof avec des classes de 3ème ? Ou bien elle a fait cet exercice quand elle était élève en 3ème ?
Je me vois mal faire à mes 3ème un truc que je n'arrive pas à comprendre moi-même.
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La nature aime la symétrie.Des robots dotés d'algorithmes de bêtise artificielle pourraient participer aux élections.
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A , c'est le plan d'équation $x+y+z=p$ (ici $p=4$ sur le dessin).
En fait non, ce n'est pas tout ce plan, c'est une partie de ce plan, c'est la partie obtenue quand on ajoute les contraintes $x \ge 0$, $y \ge 0$ et $z \ge 0$
C'est le triangle ocre sur ce dessin.
Et la frontière de A, ce sont les 3 segments.
Et au fait, si on était très rigoureux, je me demande si on ne devrait pas considérer que l'intérieur de A est vide ... Dans $R^3$, l'intérieur de A est vide, alors que dans le plan d'équation $x+y+z=p$, l'intérieur de A est un triangle.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Supposons connue l'inégalité des moyennes arithmétique-géométrique : $\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\leq \frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$, égalité si et seulement si $x_1=x_2=...=x_n$, qui se démontre de multiples façons, et certaines sans calcul différentiel, notamment pour $n=2,4,3$.Il en résulte, pour un triangle de côtés $a,b,c$ avec demi-périmètre $p$ : $\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \frac{1}{3}((p-a)+(p-b)+(p-c))=\frac{1}{3}p$, égalité si et seulement si $a=b=c$.En conséquence : $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\leq \frac{1}{3\sqrt{3}}p^{2}$, égalité si et seulement si $a=b=c$.C'est l'inégalité de Hadwiger (1939), voir le grand classique : Bottema & alii, Geometric Inequalities, Wolters-Noordhoff 1969, 4.2, p. 42.
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OShine a dit :zygomathique a dit :...
Je ne comprends pas d'où sortent les plans $x=y$ etc.Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire. BHASCARA
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@zygomathique
Oui et donc ? -
Perso j'adore l'explication purement géométrique de JLT ici, merci beaucoup !C'est limite faisable en TP en collège en plus (en guidant bien les élèves bien sûr après les avoir laissés chercher et expérimenter) !Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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@NicoLeProf
Tu as compris ?
Je n'ai rien compris à l'explication géométrique de JLT.
Je suis perdu dès la première ligne.
Je ne pourrai jamais faire ce TP en collège je ne comprends pas ce qui se passe géométriquement et le lien qu'à fourni @lourran ne m'aide pas, je ne le trouve pas clair du tout.
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$ABC = pr, p = Cte$, de sorte que le problème revient à maximiser $r$... On subodore que c'est le cas quand le centre du cercle inscrit est sur la plus grande des hauteurs. Me tromp'je ?Des robots dotés d'algorithmes de bêtise artificielle pourraient participer aux élections.
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@NicoLeProf
Je bloque sur la première phrase : "maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante."
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Si 10 personnes crèvent de froid dehors par -10°C, vont-ils se mettre côte à côte en ligne pour se réchauffer ? Non intuitivement, on va se groupir, en minimisant la surface en contact avec l'air. De même un chat se met intuitivement en boule pour garder sa chaleur s'il a froid.Pour un périmètre donné, il me parait totalement intuitif que le cercle maximise la surface, si j'impose un quadrilatère c'est la carré, si on impose un triangle ça sera l'équilatéral, il ne me paraît nécessaire d'avoir fait des maths pour penser à ça immédiatement.Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
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@zeitnot
Ca l'est pour toi, pour moi non. Pourquoi un carré et pas un rectangle ?
Des choses me semblent intuitives comme la linéarité d'une application (je n'ai pas besoin de faire de calcul) car j'ai travaillé ce domaine durant des années.
Mais je ne vois rien d'intuitif dans ces problèmes d'optimisation géométrique surtout que je n'en ai quasiment jamais traité de ma vie.
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Je t'assure que si tu devais te retrouver avec 100 gugus par grand froid, avec pour seul but de survivre, avec obligation de former un quadrilatère et pas autre chose, sinon quelqu'un vous tire dessus. Je suis certain que vous formeriez très vite un carré pour garder un maximum de chaleur, plutôt qu'un rectangle.Même chose, peut-être pas toi @OShine, mais avec un nombre de parpaing contraints, si je demande un 50 bricoleurs nuls en maths de se faire un abri de jardin, sans consigne particulière, je suis persuadé que la plupart feront une base carrée pour ranger le maximum de choses dans leur abri. (A l'occasion je poserai la question à des non matheux pour voir, je me trompe peut-être...)Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
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Bonjour, @OShine,Essaie de considérer le cas d'un rectangle de longueur 5 et de largeur 3 : son aire vaut 15, son périmètre 16.Maximiser l'aire à périmètre constant : c'est le carré de côté 4, dont le périmètre vaut toujours 16, mais dont l'aire vaut 16.Minimiser le périmètre à aire constante : c'est encore un carré, dont l'aire vaut encore 15 et le périmètre 4(racine de 15) = 15,5 à peu près.
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@jelobreuil
Intéressant cet exemple, merci. -
Le résultat suivant se démontre facilement ou il faut l'admettre ?
"Maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante." -
En fait c'est très intuitif et cela correspond au problème dual, mais je suis d'accord que cette phrase nécessite une justification
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Je suppose que ce résultat est effectivement démontrable, mais qu'il le soit "facilement", je n'en sais rien ... Tu n'as qu'à essayer, tu verras bien !
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En maximisant le logarithme de $S^2$ on tombe sur un problème convexe pour lequel la CN1O est CNS et donc sans même poser réellement le moindre calcul sur un papier on voit que les trois variables sont égales.
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La preuve de JLT est très simple et convaincante, mais je suis d'accord avec @OShine pour contester que la première phrase soit évidente.Il est utile de noter que la fonction : périmètre -> aire maximale est croissante (plus de corde, plus d'aire)de même que la fonction : aire -> périmètre minimal (pour avoir plus d'aire, il faut plus de corde).Posons que pour un périmètre P nous avons trouvé une forme F donnant l'aire maximale A, solution du problème 1.Et que nous avons une forme G qui, pour une aire B donne le périmètre minimal Q, solution du problème 2.Puisque la question ne dépend pas de l'échelle, faisons en sorte que B=A.Dans ce cas, il faut que Q = P, sinon, on a une contradiction.Cela ne prouve pas que les deux formes idéales soient identiques (F = G).Il n'est pas évident que la solution du problème soit unique (et dans certains cas, avec des contraintes, elle ne l'est pas).Mais chacune des formes idéales l'est pour les deux problèmes, à cause de la croissance.
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Pour le triangle équilatéral on a $S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}$. On cherche à démontrer que pour tout triangle, $S\leqslant \frac{p^2}{3\sqrt{3}}$. Pour cela il suffit par homogénéité de le démontrer pour les triangles d'aire fixée (car si on effectue une homothétie de rapport $\lambda$, les deux membres sont multipliés par $\lambda^2$). C'est pour ça que j'ai dit que "maximiser l'aire à périmètre constant revient à minimiser le périmètre à aire constante."
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Bonsoir,
Pour savoir si c'est très intuitif ou non, il faudrait d'abord savoir ce qu'est l'intuition...
Sans prétendre avoir une réponse à la question, je pense que le problème initial est intéressant parce que, précisément, il peut passer par quelque chose d'assez "intuitif" : Si on fixe le côté BC = a, et si le périmètre est constant, alors le maximum de l'aire est atteint pour b = c.
On peut le voir d'une façon "intuitive géométrique" : le sommet A est sur l'ellipse et la hauteur du triangle est maximale sur l'axeou de façon "intuitive algébrique" : commele produit de (p - b) et (p - c), dont la somme est constante, est maximum lorsque ces deux nombres sont égaux.
Alors nous ne connaissons pas la réponse à la question initiale, mais nous savons que le triangle cherché fait partie des triangles isocèles et que "si un triangle a deux côtés différents, on peut augmenter son aire en rendant ces deux côtés égaux".
L'important dans le contexte de l'intuition me paraît alors résider dans la question suivante : le résultat ci-dessus permet-il de conclure que le triangle doit être équilatéral ? Evidemment non ! On aura beau égaler deux côtés indéfiniment, on ne fera que se rapprocher du triangle équilatéral...
En fait il semble bien que la géométrie ne puisse pas ici se passer de l'analyse : 1) le maximum cherché EXISTE, car on a affaire à une fonction continue sur un espace compact (… à préciser !), 2) ce maximum ne peut être que le triangle équilatéral (car s'il avait deux côtés différents, etc.)
Cordialement
Catherine Nadault -
J'y vais avec ma petite modification de la méthode calculatoire proposée par JLT. On est amené à maximiser la fonction strictement concave $\ln(S^2)$, qui à une constante près, vaut $f(x,y,z)=\ln(p-x)+\ln(p-y)+\ln(p-z)$, avec $\ln(0)=-\infty$ sur le convexe $C=\{(x,y,z)\in (\R^+)^3, x+y+z=p\}$. Le problème admet donc une solution unique, que l'on peut soit obtenir en écrivant la CNS sur la forme $0\in \partial (-f)(a)$, ou soit avec les multiplicateurs, qui donnent immédiatement $1/(p-x)=1/(p-y)=1/(p-z)$ donc $x=y=z$.Autre manière de voir les choses, encore moins calculatoire : le problème étant strictement convexe, il y a unicité de la solution, et comme il y a existence, l'unicité dit que $x=y=z$. En deux lignes tout est démontré.
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Évidemment non @Catherine Nadault ?Le point $C$ doit être sur la médiatrice de $[AB]$ et, comme le périmètre est connu, il n'y a que deux positions pour ce point. On en prend une et on refait le même raisonnement : le point $G$ doit être sur la médiatrice de $AC$. Rebelote pour le point $D$. Par curiosité j'ai tracé le lieu du troisième sommet $D$ d'un troisième triangle obtenu par cette méthode (lorsque $AB$ varie) :Pourquoi l'argument de @JLT quant à la symétrie des rôles des sommets ne suffirait-il pas ?
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Pour terminer ma démonstration, il faut l'appliquer à un triangle qui maximise le rapport $\frac{S}{p^2}$. Et pour montrer que ce triangle existe, on a besoin d'un argument de compacité.
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@math2
Je ne sais pas quelle théorème tu utilises mais je ne dois pas le connaître, car je ne comprends pas trop ta solution avec le convexe.
@Catherine Nadault
Je ne comprends pas d'où sort l'ellipse.
Pour l'explication algébrique, je n'ai pas compris pourquoi le triangle doit être isocèle, ni la fin.
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@OShine, aurais-tu oublié la définition de l'ellipse comme lieu géométrique ? Tu as bien dû la voir au cours de tes études, ou bien ?
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Une ellipse, ça a $2$ foyers $F_1$ et $F_2$ , et l'ellipse a pour équation $d(F_1,M) + d(F_2,M) =$ constante.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Non, je n'ai pas étudié les ellipses, il y a une leçon à l'agrégation interne sur les coniques, mais je n'ai pas eu le temps de la préparer encore.
Je me concentre sur les chapitres qui tombent à l'écrit pour l'instant (je viens de voir l'intégration, et là j'ai commencé les applications linéaires), et les coniques ça ne tombe jamais.
Je n'ai aucune connaissance sur les ellipses. -
Bonsoir,
Quand même, la définition bifocale doit faire partie de l'ADN de tout mathématicien.
J'ai vu ça en TC, revu en taupe.
Cordialement,
Rescassol
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