esigetel 1994

holiday

Bonjour, je cherche à faire le problème suivant (sans aucune contrainte, c'est pour moi...) qui partle de la fonction Gamma.
J'ai fait la partie 1, et je posterai mes réponses assez prochainement. Par contre, je coince un peu dans la partie 2. Je me donne un peu de temps avant de demander des astuces.
Si d'aventure certains parmi vous avaient un corrigé...  Ne le mettez pas en ligne tout de suite, j'aime bien tenter des trucs

A bientôt.

Holiday

Piteux_gore

En 2017, ESIGETEL est devenu EFREI Paris.

holiday

Bonjour à tous ; pour la partie II, au 1a), je trouve $\ln((n-1)!)$ pour $n\in\N^*$. Les choses se compliquent à la q.1b, en passant la formule $f(x+1)=f(x)+\ln(x)$ à la limite quand $x\to 0^+$, ca donne $+\infty$. Mais je ne sais pas si ce passage à la limite est très acceptable... Ensuite, je pense qu'il faudrait démontrer que $f$ est décroissante entre 0 et $\alpha \in]0;1[$, puis croissante après $\alpha$ et donc  sur $]0;a]$, $f(x)$ est minorée par $f(a)$, mais je ne sais pas du tout comment montrer ces variations... Pour la limite en $+\infty$, au feeling, je dirais encore $+\infty$ car convexité, mais là encore, c'est pas rigoureux.
Je veux bien une piste là.

Merci.

holiday

JLapin

Pour justifier la limite en $0^+$, tu peux écrire $f(x) = f(x+1)-\ln(x)$ et exploiter la continuité (à droite) de $f$ en $1$ (et la limite du $\ln$ en $0^+$).

Pour la minoration, tu peux minorer au voisinage de $0^+$ et aussi minorer la restriction de $f$ à chaque segment (par continuité encore).

Pour trouver la limite en $+\infty$, fais le dessin d'une fonction convexe qui vaut $0$ en $2$ et $\ln(2)$ en $3$.

holiday

Hello JLapin, merci de ta réponse.

holiday

Bonjour, j'ai fait la partie I : ok , pour la partie II : 1a) ok 1b) ok pour la limite en 0, et minoration évidente... mais par contre, je ne vois pas trop pour la limite en $+\infty$ : j'ai $f(x)\geqslant x^k +\dots$ où $k$ est l'entier tel que $x-k\in]0;1]$ , mais ensuite pour le passage à la limite, ca me semble illégal puisque k dépend de $x$...
Pour la question 2a) : ok. j'obtients $\delta_f(x)$ compris entre $\ln(1-1/x)$ et $\ln(1+1/(x-1))$ ...
Pour la question 2b), je dirais que $\delta_{g_n}=\delta_f$ est clair puisque $f(x+n)=\ln(x(x+1)\dots(x+n-1))+f(x)$ et que le logarithme de machin est dérivable... Mais par contre, pourquoi $\delta_f=0$ alors là je veux bien de l'aide...
Merci par avance de l'attention que vous porterez à cette missive...
holiday

JLapin

holiday a dit :

Bonjour, j'ai fait la partie I : ok , pour la partie II : 1a) ok 1b) ok pour la limite en 0, et minoration évidente... mais par contre, je ne vois pas trop pour la limite en $+\infty$

Pour trouver la limite en +∞, fais le dessin d'une fonction convexe qui vaut 0 en 2 et ln(2) en 3.