Interversion intégrale et limite

maga84

Pour intervertir le signe intégrale et la limite, je connais 2 théorèmes:

1) convergence monotone : (fn) suite croissante de fonctions intégrables convergeant simplement sur I vers F continue par morceaux sur I.
Alors f intégrable sur I ssi la suite des intégrales de fn est majorée et l'intégrale de f et la lim des intégrales de fn.

2) avec la convergence uniforme sur un intervalle fermé A de f : si fn converge uniformément vers f sur A alors la suite des intégrales de fn converge uniformément vers l'intégrale de f et intégrale de lim fn = limite de l'intégrale des fn.

Je ne vois pas le lien entre les 2 théorèmes et qd est ce qu'il vaut mieux utiliser l'un ou l'autre.

Merci de m'éclairer.

NicoLeProf

Bonjour,

il me semble que le théorème de convergence monotone permet de démontrer le théorème de convergence dominée.

Pour savoir quand utiliser l'un ou l'autre, je pense que le mieux est de faire une série consistante d'exercices (ne serait-ce aussi que pour assimiler les nombreuses hypothèses à vérifier pour pouvoir appliquer ces deux gros théorèmes sans faire d'oublis ou de confusions. C'est ce que j'ai fait pour préparer l'agrég interne, ça a bien marché).

Regarde ici : https://www.idpoisson.fr/berglund/agreg_423_convergence_dominee_monotone.pdf

Aussi ici : https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathspe/feuillesexo/foncdefintegrales&type=fexo

Et si tu as d'autres questions, n'hésite pas !

maga84

Merci pour ta réponse; J'ai du boulot!

math2

NicoLeProf parle du théorème de convergence dominée, mais que tu n'as pas évoqué en fait.

Le théorème de convergence monotone (version croissante) a le mérite de n'avoir que très peu d'hypothèses à vérifier (typiquement la convergence de la suite de fonctions est gratuite dans ce cas). C'est donc le théorème à utiliser lorsqu'effectivement la suite est croissante. Attention dans le cas décroissant, il y a une hypothèse en plus.

Lorsqu'on n'a plus la monotonie, on applique plutôt le théorème de convergence dominée. Celui dont tu parles (convergence uniforme sur un intervalle compact, attention avec seulement fermé le théorème est faux) n'en est d'ailleurs qu'un cas extrèmement particulier et fondamentalement trivial. Au passage, dans le cas intégrable, la convergence monotine est un cas particulier du théorème de convergence dominée, mais le premier règle aussi le cas non intégrable.

maga84

Merci, donc pour résumer, qd on doit intervertir le signe intégrale et lim, on regarde si les fn sont dominés par g intégrable et si f est cpm, si c'est le cas, on utilise le thm de convergence dominée, si c'est pas le cas, on regarde si les fn sont intégrables et la suite (fn) croissante et on applique la convergence monotone et si c'est pas le cas, et qu'on a un intervalle compact, on regarde si les fn sont continues et cherche si la convergence des (fn) est uniforme. C'est ça l'idée ou pas ?

math2

C'est le contraire. 

En général c'est plus facile de voir qu'une suite est croissante qu'elle est dominée et le théorème de convergence monotone conclut même en cas de non domination, donc on regarde d'abord si le théorème de convergence monotone s'applique et seulement s'il ne s'applique pas on regarde la convergence dominée. 

Le théorème avec convergence uniforme est un cas particulier du théorème de convergence dominée (c'était d'ailleurs le seul à mon programme lorsque j'étais en prépa), en pratique je ne m'en suis jamais servi explicitement dès que j'ai quitté la prépa. En l'occurrence obtenir une convergence uniforme c'est beaucoup plus coûteux qu'une convergence p.p. (ou a minima simple) donc je ne m'ennuie pas avec cela. Après ça dépend ce que tu as dans ton programme.

maga84

C'est l'agreg interne, ils sont au programme mais lebesgue n'y est pas.

JLapin

Voici les trois théorèmes que tu dois absolument connaitre et utiliser à bon escient (j'ai fait un copier-coller du programme officiel)

Théorème de convergence monotone : Soit ( fn) une suite croissante de fonctions intégrables, conver-
geant simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I. Alors f est intégrable sur I
si, et seulement si, la suite des intégrales des fn est majorée ; en ce cas, l’intégrale de f est la limite de
celles des fn.
Théorème de convergence dominée : Soit ( fn) une suite de fonctions à valeurs complexes convergeant
simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I. Si la suite des modules des fn est
majorée par une fonction g intégrable sur I, alors f est intégrable sur I et son intégrale est la limite de
celles des fn.
Page 7 sur 12
Théorème d’intégration terme à terme : Soit une suite (un) de fonctions à valeurs complexes, inté-
grables sur I, telle que la série ∑ un converge simplement vers une fonction S continue par morceaux
sur I, et telle que la série ∑ ∫
I |un| converge. Alors S est intégrable sur I et on a ∫
I S = ∑n∫I un.

Tu peux enrichir un peu le théorème de convergence monotone dans une version série : si $\sum u_n$ est à termes positifs, la suite des sommes partielles $S_n$ est croissante et sa limite $\sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ est intégrable ssi $(\sum_{k=0}^n \int_I u_k)_n$ est majorée ssi $\sum \int_I u_k$ est une série convergente.

En cas de convergence, $$\int_I \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \lim_n \sum_{k=0}^n \int_I u_k = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I u_n$$

En fait, cette dernière égalité est vraie en toute généralité dans $\overline{\R_+}$ : s'il y a convergence, d'après ce qui vient d'être expliqué et s'il y a divergence de l'un des termes, l'autre diverge aussi (toujours par le théorème de convergence monotone) et les deux valent $+\infty$.

maga84

Merci, il y a tant de choses qu'il faut absolument connaitre! . 

JLapin

Désolé pour le "absolument" qui n'était pas vraiment nécessaire Et bon courage pour la préparation !