Bissectrice et médiatrice

Léon Claude Joseph

OMN est un triangle, le côté OM étant fixe et le point N mobile sur un cercle de centre O.

E est le pied, sur le côté MN, de la bissectrice intérieure en O, et P est l’intersection de cette bissectrice et de la médiatrice de MN.

Démontrer que les points E et P se correspondent dans une inversion de cercle (C) à définir, et en déduire le lieu du point E en fonction du point N sur son cercle.

Préciser la nature du lieu des intersections de la bissectrice et du cercle (C).  

Rescassol

Bonjour,

Tu pourrais fournir une figure !!

Cordialement,
Rescassol

Léon Claude Joseph

Bonjour Rescassol,
En fait j'ai des difficultés à faire apparaître une figure.
De plus il faut compléter la description de la figure par le texte suivant " la perpendiculaire à la bissectrice au point E coupe la droite OM en U et la droite ON en V." Sinon il est difficile de voir le cercle d'inversion.
Pourrais tu faire apparaître cette figure? Merci.
 

pappus

Bonjour à tous

On se doute un peu que la figure de LCJ doit se trouver quelque part dans les infâmes Lebossé-Hémery mais qu'importe.

Logiquement c'est le lieu de $E$ le plus simple à trouver puisqu'il s'obtient par homothétie.

Sont-elles seulement encore enseignées celles-là pour ne pas parler des inversions qui se sont fait la malle depuis un bon bout de temps?

Effectivement le lieu de $P$ se déduit du lieu de $M$ par une inversion dont j'ai tracé le cercle en pointillé noir.

Amicalement

pappus

Léon Claude Joseph

Merci Pappus.

Le cercle en pointillé coupe la bissectrice en F, un foyer de l’hyperbole tangente à MN et ayant les droites OM et ON pour asymptotes.

Rescassol

Bonsoir,

% Léon Claude Joseph - 09 Janvier 2025 - Bissectrice et médiatrice

clear all, clc

syms m x y real
syms u z zB

mB=m; uB=1/u; n=u^2; nB=uB^2;

[pmn qmn rmn]=DroiteDeuxPoints(m,n,mB,nB); % Droite (MN)
[e eB]=IntersectionDeuxDroites(pmn,qmn,rmn,uB,-u,0); % Point E
e=Factor(e); % e=m/(m+1) * (u^2+1)

Eqe=Factor(resultant(numden(z-e),numden(zB-eB),u));
% E décrit donc le cercle d'équation (m+1)*z*zB - m*z - m*zB = 0
% Son centre est Oe d'affixe m/(m+1) et il passe par O

[pmed qmed rmed]=Mediatrice(m,n,mB,nB); % Médiatrice de [MN]
[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pmed,qmed,rmed,uB,-u,0); % Point P
p=Factor(p); % p=u^2*(m+1)/(u^2+1)

syms t real
f(u)=p;
Xp=simplify(real(f(cos(t)+i*sin(t)))); % Xp=(m+1)/2
Yp=simplify(imag(f(cos(t)+i*sin(t)))); % Yp=(m+1)/2 * tan(t)
% P décrit donc la droite d'équation X=(m+1)/2
% C'est la médiatrice de [AM]

k=Factor(e*p*eB*pB); % k=m^2 donc OE.OP=m
% E et P se correspondent dans l'inversion de centre O et de puissance m

syms f fB 
% F est un point d'intersection du cercle d'inversion et de (OP)
fB=f*uB/u;
NulF=Factor(f*fB-m); 
% On trouve (f^2-m*u^2)/u^2 donc f=sqrt(m)*u

% Hyperbole de foyer F et d'asymptotes (OM) et (ON)
% Elle est tangente en D à (MN)
d=(m+u^2)/2; dB=(m+uB^2)/2; % Milieu D de [MN] 
Hyp(z,zB,u)=(z-zB)*(u^2*zB-uB^2*z)-(d-dB)*(u^2*dB-uB^2*d);
Hyper(x,y)=numden(simplify(Hyp(x+i*y,x-i*y,cos(t)+i*sin(t))))
% On trouve 4*y^2*cos(2*t) - 4*x*y*sin(2*t) + m*sin(2*t)^2 = 0
% cos(2*t) et sin(2*t) sont les coordonnées de N

Cordialement,
Rescassol

Léon Claude Joseph

Très belle figure Rescassol. Merci.
Le langage que tu utilise m'est tout à fait inconnu!
Pour la nature du second lieu demandé, le site de Robert Ferréol Mathcurve peut aider.

cailloux

Bonsoir à tous,
Si j'ai bien compris le code de Rescassol, je suppose que $N$ décrit le cercle unité.

% E et P se correspondent dans l'inversion de centre O et de puissance m

Autrement dit $OE.OP=OM$
Je pense qu'il est utile de préciser : $OE.OP=OM.ON=OM.OA$

Rescassol

Bonsoir,

> Le langage que tu utilise m'est tout à fait inconnu!
Ce n'est que du calcul en nombres complexes, effectués en Matlab.
Le suffixe B de certaines variables signifie "conjugué".
Les minuscules sont les affixes des points en majuscules.
Par exemple $M(m)$ avec $m$ réel, $N(n)$ avec $n=u^2$ de module $1$.
Une droite a une équation de la forme $pz+q\overline{z}+r=0$ et le la note $[p\space q\space r]$.
Les fonctions ont des noms parlants, mais je peux expliciter à la demande.

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonsoir,

Oui, Cailloux.

Cordialement,
Rescassol

Léon Claude Joseph

Mille excuses encore (!) pour mon grossière et bizarre erreur dans la demande du deuxième lieu.

Il s’agit du lieu des intersections de la bissectrice et du cercle de centre P et de corde MN.

Rescassol

Bonjour,

Sur ma figure, ce lieu est la cubique d'équation $x^3 + xy^2 - (m+1)x^2 - (m+1)y^2 + mx = 0$.
Ou $(x^2+y^2)(x-m-1)+mx=0$ où on voit la circularité et l'asymptote.

Cordialement,
Rescassol

Léon Claude Joseph

Voici la figure jointe et les réponses aux questions posées.

Merci à la personne qui la fera apparaître en clair sur cet écran.

Voici la chose, 

Bien cordialement JLB

@Vassillia Je te prie de m'excuser, je n'avais pas vu ton intervention ...

pappus

Bonjour à tous

Je précise:

Je note les distances $OM=m$ et $ON=n$.

D'après une propriété autrefois bien connue de la bissectrice intérieure:

$$\dfrac{ME}m=\dfrac{NE}n=\dfrac{ME+NE}{m+n}=\dfrac{MN}{m+n}$$

On en déduit qu'on passe de $N$ à $E$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac m{m+n}$.

On en déduit (ce que je ne ferais pas) le lieu du point $E$.

J'ai tracé en bleu les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle $\widehat{MON}$.

La médiatrice de $BC$ coupe respectivement ces bissectrices en $P$ et $Q$  et il était autrefois bien connu que $PQ$ était un diamètre du  cercle circonscrit au triangle $OMN$.

Pour des raisons angulaires triviales les triangles $OME$ et $OPN$ sont semblables, donc:

$\dfrac{OM}{OP}=\dfrac{OE}{ON}$ puis $OP.OE=OM.ON$

On passe donc du point $E$ au point $P$ par l'inversion de pôle $O$ et de puissance $m.n$.

On en déduit (ce que je ne ferais pas) le lieu de $P$.

Amicalement

pappus

Vassillia

@Léon Claude Joseph Il te faut une image puis, tu cliques sur l'icone avec une montagne et un soleil ('attach image'), dans parcourir, tu choisis le fichier sur ton ordinateur et c'est gagné, je te cite donc :

Le cercle (P) de centre P de corde MN coupe le cercle de diamètre OP en U et V,
Le cercle (O) de centre O de corde UV est le cercle d’inversion pour P et E. Il coupe la droite OM en H, pied de la perpendiculaire (d) issue de P.
Le lieu des points d’intersection de la droite OD et du cercle (P) est une strophoïde de droite.
Si H et M sont confondus, c’est une strophoïde droite.

Léon Claude Joseph

Merci  Vassillia. Je m'en souviendrais si je trouve quelque chose à proposer. 
Tu as raison Pappus . On peut construire d'abord  le lieu du point E .
Pour ma part, c'est l'égalité suivante qui a conduit ma construction: OE² = OM.ON - EM.EN
Je ne cesse de faire des erreurs. Dans la figure que Vassillia a fait apparaître je remarque que le point P est devenu D.

Rescassol

Bonsoir,

L'excentricité de l'hyperbole est $\dfrac{2u}{u^2+1}$, indépendante de $m$.

Cordialement,
Rescassol

Léon Claude Joseph

Bonjour Vassillia,

J’ai imprimé puis numérisé la figure. Est-ce la bonne méthode. ? Je peux donc maintenant donner ma réponse au problème posé.

Avec les notations de la figure, d'abord une expression de la longueur de la bissectrice puis la solution :

OT² = OE² + ET² ; OT² = OM.ON ; ET² = EM.EN ; D’où   OE² = OM.ON – EM.EN

PT² = PE.PO : Donc E et P sont inverses par rapport au cercle (O ;OT).

M étant fixé, le produit OM.ON’ est constant. Donc le lieu de P par rapport au point N sur son cercle de centre O est la médiatrice en H à la corde MN’ du cercle (P ; PM).

Les droites EE’ et EO sont les bissectrices de l’angle MEN’. On en déduit que l’inverse du point H est le point E’ et que l’inverse de la droite PH est le cercle de diamètre OE’.

Le lieu des point S et S’ intersections de la droite OP et du cercle (P ;PM) est une courbe strophoïdale de foyer O et de pole M. https://www.mathcurve.com/courbes2d/strophoidale/strophoidale.shtml

Vassillia

Bonjour @Léon Claude Joseph , c'est une méthode puisque tu as réussi, mais peut-être pas la plus efficace.

- Tu peux convertir ton fichier pdf en image grâce à des logiciels que tu as peut-être déjà sur ton ordinateur ou même utiliser un convertisseur en ligne https://image.online-convert.com/fr/convertir/pdf-en-gif

- Tu peux aussi faire une capture d'écran pour récupérer uniquement la partie dont tu as besoin.

Je ne sais pas avec quoi tu es le plus à l'aise, tu peux aussi garder ta méthode si elle te convient.