Donner des colles en prépa scientifique et éco

gai requin

$X(X-n)$ s’annule en $A$ pour éviter une rédaction interminable.

gebrane

Bravo ! 

Je ne comprends pas la critique de Raoul quand tu as   dit que la racine carrée de −2 n'existe pas. On nous a répété en collège que la racine carrée d'un réel négatif n'existe pas. Ta phrase n'est donc pas fautive, car on ne précise pas si l'on considère la racine carrée dans un sens plus général (même si le fil de discussion portait sur les nombres complexes).

J'aimerais bien voir la tête de Raoul en lisant ceci ! 😄

Oshine, fonce, mais si tu te sens après incapable de gérer les colles, tu enseignes uniquement  à  ton collège

bd2017

Finalement c'est au lycée de faire le  choix. 

NicoLeProf

Je trouve ta rédaction bien compliquée OShine pour l'exo 1.

On peut s'en sortir quasiment sans calculs et c'est ce que j'adore en algèbre linéaire perso !

Par exemple, on peut remarquer que :

-> $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable ;

-> $A$ est de rang $1$ donc $\ker A$ est de dimension $n-1$ dont la famille $(e_i-e_n)_{i \in \{1,...,n-1\}}$ est une base (famille libre de $n-1$ éléments d'un espace de dimension $n-1$).

-> $tr(A)=n$ donc l'autre valeur propre de $A$ est $n$ et $\ker(A-nI_n)$ est de dimension $1$ puis comme la somme des colonnes de $A$ vaut $\begin{pmatrix} n \\ \vdots \\ n \end{pmatrix}$, le vecteur $(e_1+...+e_n)$ est une base de $\ker(A-nI_n)$.

raoul.S

gebrane a dit :

J'aimerais bien voir la tête de Raoul en lisant ceci ! 😄

Moi c'est la tête d'OShine lorsqu'il bloque devant des élèves de prépa que j'aimerais bien voir

plsryef

@OShine j'imagine que tu as tes choix et tes contraintes, je vais essayer de me mettre à la place de tous les intervenants, et c'est un exercice de style amusant, alors cela donne: essaye, n'essaye pas pas, fais ce que tu veux ou reste à ta place (car on la la connaît)(et ceci peu importe l'intervenant), je ne sais pas comment t'as réussi à faire ça mais en tout cas chacun ici a un avais sur toi et peu importe l'avis, je me demande encore comment tu focalises autant d'attentions et de passions dans la mesure où tu n'essayes de faire que ce que tu essaies de faire, en tout cas ça motive du monde, je ne sais pas si c'est un bien ou un mal , cependant, tune laisses personne indifférent, je ne sais pas si @bd2017 met la barre bas, mais bon il a fixé un minimum pour la position de colleur dans une prépa, et tu répond à ça... admettons, ici certains ne seront jamais perplexes et d'autre non et tout le monde s'exprime, je ne sais plus si internet c'est beau (on pourrait dire internet ou de réseaux sociaux mais dans le fond parler sur le dos de quelqu'un aurait les mêmes conséquences). mais tu répond quand même et t'oses des questions auxquelles tu ne sembles pas avoir de réponses, un jour peut-être, ici, une personne te dira: "comment oses tu poser une question sur un thème si trivial ?, comment oses-tu ne pas savoir et oser poser une question, être curieux douter et ne pas savoir, c'est MAL !", cette personne se manifestera forcément à un moment, n'en doute pas sans doute l(a t-elle déjà fait peut importe ...

gai requin

Et quid de $A$ sur un corps $k$ quelconque ?

plsryef

@gai requin ne prends pas un corps un corps dont la caractéristique divise la dimension de l'espace vectoriel sous-jacent, je t'en prie.

gebrane

Oshine est très malin, il ne se laissera pas intimider
[Cela me rappelle mon professeur de distributions : chaque fois que je lui posais une question qui dépassait son  champ , il répondait : "Tu vas trop vite, on verra ça dans le chapitre suivant" ou "C'est justement un exercice prévu en TD." ]  

 Chaque fois que quelqu'un propose une solution différente de la sienne, il réplique avec assurance : "Tu compliques, attends, je vais t'expliquer une méthode plus simple." Et, habilement, il ramène la discussion vers sa solution, soigneusement préparée à l'avance.  

OShine

bd2017 a dit :

3. analyse Donner le DL à l'ordre 5 au voisinage de $0$  de  $f(x)=\sqrt{\dfrac{x}{\tan x }}.$ 

Cette question est technique, il m'a fallu 35 minutes. Bon, je n'avais pas fait de DL depuis très longtemps, et je n'ai pas encore revu le cours sur les DL.
On sait que $\tan(x)=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5)$
On a $\dfrac{x}{\tan x}=\dfrac{1}{1-u(x)}$ où $u(x)=-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2x^4}{15}+o(x^4)$.
On a $u(x)=-x^2 \left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{15} x^2+o(x^2) \right)$
Ainsi $u^2(x)=\dfrac{x^4}{9}+o(x^4)$, $u^3(x)=o(x^4)$ etc...
Donc : $\dfrac{x}{\tan x}=1-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{2 x^4}{15}+\dfrac{x^4}{9}+o(x^4)$
Soit : $\boxed{\dfrac{x}{\tan x}=1-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^4}{45}+o(x^5)}$
$f(x)=\sqrt{1-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^4}{45}+o(x^5)}=\sqrt{1+v(x)}$ avec $v(x)=-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^4}{45}+o(x^5)$
Or : $\sqrt{1+v}=1+\dfrac{v}{2}-\dfrac{v^2}{8}+ \dfrac{v^3}{16}+o(v^3)$
$v(x)=-x^2 \left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{x^2}{45}+o(x^3) \right)$
$v^2(x)=\dfrac{x^4}{9}+o(x^4)$
$v^3(x)=o(x^4)$, $v^4(x)=o(x^4)$ etc...
Donc : $f(x)=1-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{90}-\dfrac{x^4}{72}+o(x^4)$
Finalement, $\boxed{f(x)=1-\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{x^4}{40}+o(x^5)}$
Remarque :  $f$ étant paire, ses termes de degré impair son nuls, ce qui est cohérent avec le résultat obtenu.

OShine

@gebrane
Un élève comme toi, le professeur en face va faire chauffer ses neurones, tu arrives toujours à poser des questions originales et non évidentes à la fin de chaque exercice. 

plsryef

mais @gebrane on peut faire mieux que cela, dans mon pauvre parcours, je suis tombé sur une formation indirecte, à destination des élèves, mais j'imagine que cela vaut pour les adultes aussi,

il s'agissait de la notions de harcèlement, en gros cela définissait le harcèlement par 3 faits:

1 embêter une personne de façon répétée

2 que cela se fasse en groupe

3 que la personne visée ne soit pas en mesure de réagir (en gros c'est un faible)

après je suis d'accord avec tout le monde ceci n'est qu'un définition comme une autre, et et le fait d'être adulte procure une immunité naturelle dont personne ne saura discuter ici, car nous sommes tous adultes, n'est-ce pas ?

NicoLeProf

gai requin a dit :

Et quid de $A$ sur un corps $k$ quelconque ?

Ce n'est pas toujours vrai, soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 2$. Soit $p$ un facteur premier de $n$.

Alors la matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb F_p)$ uniquement constituée de $1$ est non nulle et n'est pas diagonalisable.

En effet, $0$ est la seule valeur propre de $A$ mais $\ker A$ est de dimension $n-1$.

plsryef

pour la question 1) avant de calculer$A^2$, je voudrais que tu me dises si celle matrice est symétrique,...( à cette question, ne me déçois pas je serai triste). il y a un piège, le corps n'est peut-être pas $\mathbb{R}$, bon c'est que pour $\mathbb{R}$, mais il se pourrait que tu sois naïf, ce dont je ne saurais juger par écran interposé. Ey puis chaque personne qui intervient ici est un savant, un sachant, tu voudrais quand même pas que l'on t'apprenne des choses... sérieusement, ceux qui ne savent pas nous savons ce qu'il faut faire pour eux, oh !

Tu as pris 35 mis pour une fonction paire ou impaire à l'ordre 5 peu importe, pour te rassurer juste un peu ( car tu ne te compares pas à Russel) on a ceci: "From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1 + 1 = 2." – Volume I, 1st edition, p. 379 (p. 362 in 2nd edition; p. 360 in abridged version). (The proof is actually completed in Volume II, 1st edition, page 86, accompanied by the comment, "The above proposition is occasionally useful.", et je sais que $\sqrt{\frac{x}{\tan x}}$ est tout aussi utile., même à l'ordre 5... tu ne soupçonnes l"'utilité de tout cela, réveille toi !

OShine

@plsryef
$A$ est symétrique réelle donc diagonalisable d'après le théorème spectral.
En prépa, dans 99% des cas, le corps est $\R$ ou $\C$.
Dans les sujets de X-ENS, parfois on navigue dans d'autres corps comme $\mathbb{F}_p$, mais c'est très rare.

plsryef

mais oui @OShine je sais, la caractéristique 0, c'est la base, mais toi aussi tu sais, ce qui ne veux pas dire que tu doives négliger la caractéristique p (générique).

Milas

Bonjour oshine
Je pense que tu doit suivre le conseil de Chaurien
A mon avis il a raison
Tu apprendra beaucoup en mathématiques si tu fait de kholes en prépa 

Kraw

Pour la réalité : Pour donner des kholes en prépa faudrait arrêter de buter sur des notions de L1/L2/MPSI/MP au vu de l'immense majorité des posts que tu fais tu méritais plutôt d'y participer à ces heures d'interrogation orales.

Pour le côté administratif: tu postules à la vie scolaire/administration de la prépa en fin d'année scolaire, et l'équipe de khôleur est choisi par le prof de chaque classe.

Bibix

Cela peut aussi être profitable aux élèves car avec OShine, pas d'arnaque possible, il faut pouvoir justifier toutes les évidences (avec du cours). Bref, je ne suis pas sûr de comprendre le problème.

lourrran

Tu apprendra beaucoup en mathématiques si tu fait de kholes en prépa 

Ca, oui, c'est tout à fait possible. En principe, dans une kholle, c'est l'enseignant qui enseigne et l'étudiant qui étudie. Là, les rôles seraient plus ou moins inversés. Si ça ne dérange personne, alors fonce.

OShine

Kraw a dit :

Pour la réalité : Pour donner des kholes en prépa faudrait arrêter de buter sur des notions de L1/L2/MPSI/MP au vu de l'immense majorité des posts que tu fais tu méritais plutôt d'y participer à ces heures d'interrogation orales.

Pour le côté administratif: tu postules à la vie scolaire/administration de la prépa en fin d'année scolaire, et l'équipe de khôleur est choisi par le prof de chaque classe.

Merci pour l'info.
Certains exercices de MPSI ou MP sont parfois plus difficiles que des exercices de L3-M1.

Jaymz

@OShine

Ce qui est fort dommage, c'est que tu attendes pour passer l'agreg. Peu importe ton niveau, dès que tu planches sur une compo, tu engranges de l'expérience. Car au delà du niveau disciplinaire, la gestion du stress, du temps et de la fatigue est primordiale. Crois en mon expérience (3 dernières années à 8.5 de moyenne pour une admissibilité à 8.8 dans le public), savoir gérer son temps est une compétence cruciale que tu ne peux acquérir qu'en te frottant à ces exercices en conditions réelles. J'ai loupé plein de questions "faciles" car je manquais de lucidité dans les deux dernières heures des écrits...Pourquoi ? tout simplement car je n'étais plus entrainé à bosser autant d'heures consécutivement. Et plus tu attends après l'obtention du CAPES, plus cela s'amplifie, bref, inscris toi l'année prochaine et tu verras !

OShine

@Milas
Oui, mais je ne compte pas apprendre, par contre, étant donné mon niveau modeste, si je donne une heure de khôlle, ça me prendra 4 heures de préparation minimum.
Je devrais faire comme @gebrane et me poser toutes les questions possibles sur l'exercice, essayer de trouver plusieurs solutions différentes, être incollable sur le cours qui y fait référence et ses démonstrations.

math2

Il me semble qu'il faut tout de même relativiser l'importance d'un seul kholleur dans la formation. Les étudiants ne passent pas devant le même kholleur toutes les semaines. Personnellement, lorsque j'étais en M' à Condorcet, j'ai eu un kholleur en sciences physiques qui n'était clairement pas au niveau, je ne suis pas certain qu'avoir à sa place un autre kholleur aurait monté significativement mon niveau en physique, les autres kholleurs m'ayant apporté le reste de l'entraînement à l'oral. J'imagine que c'est au prof de prépa de choisir ses kholleurs, et prendre une décision si un de ses kholleurs ne convenait pas.

OShine

@Jaymz
Tu as raison, par contre mon niveau a augmenté depuis l'obtention du capes car je n'ai pas cessé de faire des maths.
J'ai du mal à rester concentrer 6 heures en effet, généralement, je fais des sessions de 1h30-2h lorsque je bosse mes maths, parfois 30 minutes lorsque j'ai peu de temps en semaine, et que je suis pris par les cours et rendez-vous, corrections.

Si je me mettais à temps partiel, je pourrais être prêt niveau connaissances pour l'écrit, mais financièrement c'est pas évident.

OShine

Ce genre d'exercice, je dois savoir le faire sans aide et sans indication ? 
Il me semble complet et très intéressant.
Il provient du site beos, donc pas de corrigé.

JLT

Cet exo n'est pas très difficile techniquement mais demande 1 ou 2 prises d'initiative. Au vu de ce que tu montres sur le forum je doute que tu y arrives sans indication, mais je serais bien sûr très content que tu me démentisses.

OShine

D'accord merci.
Pour $Im(G)$, je n'ai pas encore trouvé, c'est le premier point qui me pose problème, mais je cherche encore.
Je ne demande pas d'aide pour l'instant, à moi de trouver des idées.
1) Soit $x \in [0,1]$. $G(f)(x)=\displaystyle\int_{0}^x t f(t) dt+x \displaystyle\int_{x}^1 f(t) dt$
Les application $f$ et $t \mapsto t f(t)$ étant continues, d'après le théorème fondamental de l'analyse, $G(f) \in C^0([0,1],\R)$.
La linéarité est évidente compte tenu de la linéarité de l'intégrale.
2) La fonction nulle est dans $\ker (G)$ car $\ker(G)$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Soit $f \in \ker(G)$ alors $G(f)=0_E$ et $\forall x \in [0,1] \ G(f)(x)=0$.
Soit $x \in [0,1]$.
Soit : $\displaystyle\int_{0}^x t f(t) dt+x \displaystyle\int_{x}^1 f(t) dt=0$
D'après le théorème fondamentale de l'analyse, l'application $x \mapsto \displaystyle\int_{0}^x t f(t) dt+x \displaystyle\int_{x}^1 f(t) dt$ est dérivable sur $[0,1]$ et $xf(x)+ \displaystyle\int_{x}^1 f(t) dt -x f(x)=0$
Soit : $ \displaystyle\int_{x}^1 f(t) dt =0$.
On dérive à nouveau, ce qui est possible toujours d'après le théorème fondamental de l'analyse, ce qui donne : 
$-f(x)=1$ donc $f(x)=0$.
Finalement $\forall x \in [0,1] \ f(x)=0$ donc $f=0_E$.
On a montré $\boxed{\ker(G)=\{0_E \}}$.

Barjovrille

math2 a dit :

Il me semble qu'il faut tout de même relativiser l'importance d'un seul kholleur dans la formation. Les étudiants ne passent pas devant le même kholleur toutes les semaines.

Je suis d'accord avec math2. Une des questions importante OShine c'est est-ce que tu t'épanouiras en faisant cette expérience ? Une fois j'ai passé une colle j'ai sorti une propriété, le colleur m'a dit que c'était faux et il m'a sorti un contre exemple foireux. J'ai parlé 5 minutes avec lui car je ne comprenais pas. Le lendemain mon prof de MPSI m'a convoqué avec un autre camarade car le colleur s'est plaint de nous pour insolence... Bref Le colleur était frustré, en tant qu'élève j'ai vu ce colleur au plus 2 fois dans ma vie donc ça n'a pas eu beaucoup d'impact. Mais je ne te souhaite pas de vivre ce type de frustration toutes les semaines, il y a une différence entre faire des maths en direct avec des personnes et seul devant sa feuille. Mais si tu es vraiment curieux alors tente, tu auras plus de regrets si tu ne tentes pas je pense, et si ça se passe bien tant mieux c'est tout ce que je te souhaite.

OShine

@Barjovrille
Intéressant, je sais que certains élèves sont forts et le prof peut se tromper, donc jamais je dis à un élève qu'il est insolent s'il me dit que je me suis trompé. J'étudie d'abord son idée avec soin et je demande à quelqu'un si je ne suis pas sûr.
Ce prof a mal réagi.

Jaymz

@Oshine,

C'est sans aucun doute une de tes forces, tu es très persévérant ! Je vois bien que tu bosses très régulièrement et pour cela, c'est très bien, je ne m'attarde pas sur ton niveau car je ne lis pas tout ce que tu écris mais de ce que je vois quand tu parles des sujets d'agreg, notamment ex 3 de la dernière épreuve 1 il me semble, tu semblais très bien t'en sortir. Après, effectivement, je pars du principe que tu es sérieux et pas un "tricheur", sinon, et bien tant pis... 

Mais encore une fois, faire un exo chez soi, tranquille, avec sa petite boisson à côté , sur son bureau, n'est pas comparable à le faire en conditions réelles, avec les autres candidats autour et que tu t'aperçois que les heures défilent très vite !!!

Milas

OShine a4 dit :

Ce genre d'exercice, je dois savoir le faire sans aide et sans indication ? 
Il me semble complet et très intéressant.
Il provient du site beos, donc pas de corrigé.

Question 4
4. Montrer que l'application linéaire Gest continue et détermine sa norme (pour la norme infini)

troisqua

@Milas : pour quelles normes sur E au départ et à l'arrivée ?

Milas

Le norme infini

gebrane

Bravo Oshine, tu continues sur https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2514520/#Comment_2514520
surement JLT va être impressionné par cette performance 
 Que personne ne l'aide

JLT

En tout cas OShine est très bien parti. Le reste de l'exo est du même ordre de difficulté.

gebrane

Milas  On peut ajouter de déterminer la dimension des sous espaces propres

troisqua

JLT a dit :

En tout cas OShine est très bien parti. Le reste de l'exo est du même ordre de difficulté.

Il faut de l'initiative pour Im$G$.

JLT

Oui je sais, donc je ne suis pas sûr qu'il terminera l'exercice, mais une partie du travail a quand même été fait.

gebrane

Mais quand même le plus gros travail était fait pour le noyau, l'image est presque une réplique  Il va le faire surement 

Soc

OShine a dit :

@Milas
Oui, mais je ne compte pas apprendre, par contre, étant donné mon niveau modeste, si je donne une heure de khôlle, ça me prendra 4 heures de préparation minimum.
Je devrais faire comme @gebrane et me poser toutes les questions possibles sur l'exercice, essayer de trouver plusieurs solutions différentes, être incollable sur le cours qui y fait référence et ses démonstrations.

Attention, il faut préparer bien plus que 3 exercices, car tu peux régulièrement tomber sur un élève qui enchaine les exercices très vite. Si tu n'as plus rien à lui proposer tu auras un problème. Autre solution c'est de proposer un exercice beaucoup plus dur, mais c'est à double tranchant.

zygomathique

salut

quelque chose me gène cependant pour la question qui demande de montrer que G est bien définie : 

il effectue une opération sur G(f) (relation de Chasles) sans savoir si cette objet est bien défini pour pouvoir dire qu'il est bien défini !!!

il me semble qu'il faudrait plutôt dire : 

la fonction $ t \mapsto \min (x, t)$ est continue de [0, 1] dans [0, 1]  (fonction affine par morceaux)

son produit avec f est donc aussi continu (car f est continue)

donc G(f)(x) existe (intégrale d'une fonction continue sur un compact) pour tout x de [0, 1] et G est bien définie

et maintenant que G(f) existe je peux m'amuser avec ...

gebrane

Zygo la relation de Chasle à voir dans les deux sens, elle est utilisée pour montrer la convergence d'intégrales

troisqua

@zygomathique : le caractère "affine par morceaux" n'implique pas la continuité (sinon, d'accord avec le reste du message).

zygomathique

@troisqua : oui oui bien sûr : je n'ai donné que des éléments de justification pour laisser @OShine réfléchir ...

gebrane

Oshine tu bloques ?

plsryef

@gebrane.... sérieux, il a fait le plus important,  tu le sais il ne manque pas grand chose pour terminer.

gebrane

pls pourquoi tu me dis cela ?

OShine

@gebrane
J'ai eu une longue journée, réunion parents profs jusqu'à 20h et sport après, je vais essayer de résoudre la question de $Im(G)$ ce soir. J'ai une piste.

Il s'agit du cours de MPSI que je viens de revoir, l'intégrale est définie sur des segments pour tout fonction continue par morceaux. 
Soit $0 < x < 1$.
L'application $\phi : [0,1] \longrightarrow \R$ définie par $\phi(t)= \min(x,t)$ vérifie : $\forall t \in [0,x] \ \phi(t)=t$ et $\forall t \in ]x,1] \ \phi(t)=x$.
L'application $\phi$ est continue par morceaux sur $[0,1]$, une subdivision adaptée est $\sigma=(0,x,1)$, donc l'intégrale existe bien et est bien définie.

Milas

gebrane a dit :

Milas  On peut ajouter de déterminer la dimension des sous espaces propres

Oui gebrane
On peut aussi montrer que G possède un unique solution de l'équation G(f) = f